Parte esercizi sol 9

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23.7.2015 — Esercizi Esercizio 1 `E noto che, a parit` a di dosi, il tempo (in minuti) impiegato da una reazione chimica per compiersi segue una distribuzione normale, di media 8 minuti e deviazione standard 2 minuti; se tuttavia si aggiunge un particolare additivo AA, il tempo medio scende a 7 minuti, mentre la deviazione standard rimane invariata. In una classe di chimica, 6 studenti hanno aggiunto l’additivo AA, mentre 19 non lo hanno fatto. 1.1 Prendiamo la reazione preparata da uno studente a caso, calcolare la probabilit` a che questa si concluda in meno di 9 minuti. Soluzione: Chiamiamo T eTA rispettivamente il tempo impiegato a concludersi da una reazione senza e con l’additivo. Dal testo si ricava che T∼N (8, 4), T A∼N (7, 4). Usiamo il teorema delle probabilit` a totali: detti A e C rispettivamente degli eventi “lo studente ha usato l’additivo AA” e “la reazione si ` e conclusa in meno di 9 minuti”, si ha: P{A} = 6 25 = 0.24, e dunque P{C|A} = P{TA < 9} = P{Z <1}≃ 0.84134, P { C|A } = P{T <9} = P{Z <0.5}≃ 0.69146. pertanto P{C} = P{C|A} P{A} + P { C|A } P { A } ≃ 0.84134· 0.24 + 0.69146· 0.76≃ 0.72743. 1.2 Poich´ e la reazione si ` e conclusa in meno di 9 minuti, qual ` e la probabilit` a che lo studente avesse fatto uso dell’additivo AA? Soluzione: Usiamo la formula di Bayes: P{A|C} = P{C|A} P{A} P{C} ≃ 0.84134· 0.24 0.72743 ≃ 0.2776. 1.3 Sia X la variabile aleatoria “somma dei tempi di reazione di tutti e 25 gli studenti”, calcolare la probabilit` a che X non superi i 200 minuti. Soluzione: Poich´ e la somma di normali indipendenti ` e anch’essa normale (la media ` e la somma delle medie e la varianza ` e la somma delle variante), si ha cheX∼N (194, 100), dunque P{X <200} = Φ(0.6)≃ 0.72575. Esercizio 2 La variabile aleatoria che descrive il numero di…