Prima prova in itinere B

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ANALISI MATEMATICA 2 - Prof. E.Maluta. Prima prova in itinere A.A. 2014-15 24 novembre 2014 COMPITO B 1. (Punti 13) - Sia f : R2−→ R, la funzione definita da f(x,y ) =x2−y3 +xy. (a) Dopo aver giustificato l’esistenza del piano tangente al grafico di z = f(x,y ) nel punto (2,−1, 3), scriverne l’equazione. (b) Determinare eventuali punti di massimo o minimo locale di f in R2; (c) Determinare eventuali punti di massimo o minimo di f sull’ insieme Γ ={(x,y )∈ R2 :xy = 1}; (d) Stabilire se i punti determinati al punto (c) sono estremanti per f sull’insieme E ={(x,y )∈ R2 :xy≤ 1}. 2. (Punti 12) Calcolare ∫ Ω xy3zdxdydz dove Ω ={(x,y,z )∈ R3 :x> 0∧x2 +y2≤ 1∧x2 +y2≤ 2y∧ 0≤z≤ 3}. Si consiglia di disegnare Ωz, intersezione di Ω con il piano z = costante. 3. (Punti 8) - Calcolare ∫ γ (xy + sinx + cosy)ds doveγ ` e la frontiera del triangolo T ={(x,y )∈ R2;x,y >0∧x +y <π 2}.