Raccolta di 100 problemi

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100 Problemi di Analisi 2 (54 Problemi sulla prima parte del corso e 46 sulla seconda parte) 1. Dire dove è definita la funzione della variabile x (in dipendenza dal parametro reale  fx  ∑ n1  4n n |x2 − 1|n 2. Dire dove è definita la funzione fx  ∑ n1  log1  xn nx1  2 3. Stabilire se è convergente il seguente integrale improprio  0  1 − cos x2 x3 dx 4. Studiare la convergenza puntuale e uniforme della serie ∑ n1  x  n x2  enx 5. Studiare la convergenza puntuale e uniforme per la successione di funzioni fnx  sin2nx nx se x ≠ 0 0 se x  0 6. Studiare la convergenza puntuale e uniforme per la successione di funzioni fnx   1 n e−xy 1  y2 dy 7. Studiare la convergenza puntuale ed unforme della successione di funzioni fnx  x2e−nx 8. Dire se sono convergenti le seguenti serie: ∑ n1  xn na ; ∑ n1  nx n! ; ∑ n1  n!2 2n! ; ∑ n1  n!xn nn ; ∑ n1  1 log nlog n . 9. Mostrare che la serie ∑ n1  sinnx n3 è derivabile termine a termine per ogni x. 10. Mostrare che la serie ∑ n1  1 an  x2 con a  1 è integrabile termine a termine nell’intervallo 0, 1. 11. Scrivere la serie di potenze la cui somma vale fx   0 x sint2dt 12. Sviluppare in serie di Taylor le funzioni arctanx;a r c s i nx; e2x2 . 13. Mostrare che la serie di funzioni ∑ h1  x2 hh  x2 converge per ogni x ∈ R peró non converge uniformemente in tutto R. Converge inoltre totalmente in ogni compatto −a, a. (Traccia): il termine generale è dell’ordine di 1 h2 e quindi converge per ogni x. Per mostrare che la convergenza non è uniforme possiamo osservare che le somme parziali Snx  ∑ h1 n x2 hhx2 sono funzioni limitate in quanto x2 hhx2 ≤ 1 per cui Snx ≤ n e se ci fosse convergenza uniforme dovrebbe verificarsi Smx ≤ n0  cioè le somme…