Raccolta Esercizi TDE 2019

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Analisi e Geometria 2 - 15 Aprile 2019 Ogni risposta deve essere giustificata ed i calcoli riportat i. Gli esercizi vanno svolti su fogli forniti dal docente. I fogli di brutta non dev ono essere conse- gnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, qua derni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. Esercizi - Versione 1 Esercizio 1. Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione 3 con base B = (⃗ v1, ⃗ v2, ⃗ v3) e sia fk : V → V l’unica applicazione lineare tale che fk(⃗ v1) = ⃗ v1 + 4⃗ v2 + 3⃗ v3, fk(⃗ v2) = 4 ⃗ v1 + 16⃗ v2 − k⃗ v3, fk(⃗ v3) = 3 ⃗ v1 + 12⃗ v2 + 9⃗ v3. (i) Scrivere la matrice Ak = MB,B (fk) che rappresenta fk rispetto alla base B. (ii) Determinare, al variare di k ∈ R, il rango di Ak, una base di ker( fk) ed una base di Im( fk). (iii) Sia R3 dotato del prodotto scalare euclideo, e sia g : R3 → R3 l’endomorfismo associato alla matrice Ak rispetto alla base canonica. Determinare, per i valori di k per cui ` e possibile, una base ortonormale di R3 formata da autovettori di g. Soluzione. Dalla definizione, la matrice Ak richiesta ha per colonne le componenti di fk(⃗ v1), f k(⃗ v2), f k(⃗ v3) rispetto alla base B, e quindi Ak =   1 4 3 4 16 12 3 − k 9   . Se riduciamo la matrice per colonne, rispettiamo le componenti e quind i otteniamo facilmente una base dell’immagine di fk. Se invece riduciamo per righe, stiamo risolvendo il sistema lineare omogeneo Ak[⃗ v]B = 0 e quindi calcoliamo facilmente il nucleo di fk. Per ridurre per colonne, effettuiamo le operazioni elementari C2 − 4C1 → C2, C 3 − 3C1 → C3 ed otteniamo la matrice ridotta per colonne   1 0 0 4 0 0 3 − k − 12 0   . Se − k − 12 ̸= 0, ossia k ̸= − 12, la matrice Ak ha rango 2, l’immagine di fk ha dimensione 2 ed una sua base ` e ( ⃗ v1 + 4⃗ v2 + 3⃗ v3, ⃗ v3), avendo i due…