Raccolta Esercizi TDE 2020

Page 1

Analisi e Geometria 2 - 15 Giugno 2020 Parte A Esercizio 1. Si considerino due matrici quadrate A e B di ordine 3. Quale delle seguenti affermazioni vera? Scegli un’alternativa: (1) det(AB) = det(BA). (2) Nessuna delle altre. (3) det(A + B) = det(A) + det(B). (4) det(2A) = 2 det(A). Soluzione. (1) ` e vera. Conseguenza del Teorema di Binet. Esercizio 2. Si considerino l’ insieme C = {(x, y ) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 4} e la funzione f : R2 → R definita da f (x, y ) = y. Quanto vale lintegrale ∫∫ C f (x, y ) dxdy della funzione f su C? Scegli un’alternativa: (1) 0. (2) Nessuna delle altre. (3) 2 π. (4) 4 π. Soluzione. (1) ` e vera. Infatti, C ` e simmetrico rispetto all’asse x, e la funzione f assume valori opposti in ( x, y ) ed in ( x, − y). Esercizio 3. Si consideri il sottospazio vettoriale U ⊆ R4 generato dai vettori [1, 0, 1, 1], [2, 0, 2, 2], [6, h, 0, h ]. Per quali valori del parametro h il sottospazio vettoriale U ha dimensione 3? Scegli un’alternativa: (1) Per ogni h ̸= 0. (2) Per ogni h ̸= 3. (3) Per nessun valore di h. (4) Nessuna delle altre. Soluzione. (3) ` e vera. Infatti, riducendo la matrice avente come colonne le co mponenti dei vettori dati rispetto alla base canonica di R4, si ha che tale matrice ha rango 2 per ogni h, e quindi la dimensione del sottospazio che i tre vettori generano ` e 2 per ogni h ∈ R. Esercizio 4. Si considerino il vettore v ∈ Mat(3, 1; R) e la matrice reale A seguenti v =   1 2 3   , A =   3 0 2 1 1 1 1 1 a   , a ∈ R. Per quale valore del parametro a, il vettore v ` e un autovettore della matrice A? Scegli un’alternativa: (1) Nessuna delle altre. (2) Per a = 2. (3) Per a = 1. (4) Per a = 3. Soluzione. (2) ` e vera. Infatti, effettuando Av si ottiene la matrice   3 6 3 + 3a   = 3v solo per a = 2. Esercizio 5. Si consideri l’…