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Politecnico di Milano Analisi Matematica II 1 febbraio 2017 Prof. E. Maluta Ing. Informatica e Ing. delle T elecomunicazioni Prima Parte Cognome e Nome: Matricola: P T 1 2 3 4 Ogni risposta va scritta nello spazio sotto il quesito e motivata con calcoli o/e spiegazioni. 1. Calcolare la divergenza del campo vettorialeF (x,y,z ) = (x +yz)i + (y +xz)j + (z +xy)k. 2. Determinare il raggio di convergenza della serie ∞∑ n=5 zn n2n. 3. Siaf (x) = x6 +6 sinx in (−π,π ) e 2π-periodica; sia a0 2 +∑ nan cos(nx)+bn sin(nx) la sua serie di Fourier. Determinare b1 e b11. 4. Sia f la funzione periodica di periodo 2 che vale 1 x + 1 per x∈ [0, 2). La serie di Fourier dif converge puntualmente su R? Se sì, a quale funzione? 5. In C, +∞∑ 0 (−1)nz2n n! = ? 6. Determinare tutte le soluzioni del problema di Cauchy { y′ =y3 sin 1 x +y 1 x3−8 y(1) = 0 . 7. Determinare tutte le soluzioni dell’equazione differenzialex′′ +x = 1. 8. Calcolare il rotore del campo vettorialeF (x,y,z ) = (x,xy,xyz ). 9. Sapendo cheφ1 e φ2 sono soluzioni rispettivamente delle equazioni differenziali lineari y′′ +a(t)y′ +b(t)y = logt e y′′ +a(t)y′ +b(t)y =t , scrivere una soluzione dell’equazione y′′ +a(t)y′ +b(t)y = 3 logt− 5t. 10. Detta Φ una qualunque soluzione (non identicamente nulla) del sistemay′ = Ay doveA = [−3 1 0 −1 ] , calcolare limt→+∞ Φ(t).
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