Serie numeriche

Page 1

Giovedí 1 Ottobre 2009 Ricapitolo su serie numeriche e integrali improprie. SERIE NUMERICHE. Definizione di serie convergente di numeri reali. Una serie é una espressione del tipo /u2211n/u003d0 /u221ean, dove an indica una successione di numero reali. La serie si dice che converge ad un numero reale S se S è il limite della successione delle somme parziali Sn definite in questo modo Sn /u003d/u2211 k/u003d0 n ak /u003da0 /u002ba1 /u002b. . ./u002ban Il limite S si chiama somma della serie /u2211n/u003d0 /u221ean. Spesso si usa porre il segno di uguaglianza S /u003d/u2211 n/u003d0 /u221e an per indicare che la serie converge e S è la somma della serie. Possiamo usare la stessa defizione di serie convergente per sommare una successione di numeri complessi invece di numeri reali. Esempi fondamentali di serie convergenti. a) Serie geometrica: /u2211n/u003d0 /u221exn converge se 1 /u003cx /u003c1. Il valore della somma è 1 1 /u2212x 2) Serie di Mengoli: /u2211n/u003d1 /u221e 1 n/ue0a2n/u002b1/ue0a3/u003d1 Condizioni necessarie e sufficienti per la convergenza di u na serie : 1) Condizione necessaria: Se la serie /u2211n/u003d0 /u221ean converge allora la successione an converge a 0 2) Condizioni sufficienti: a) se a n /u22650 e lim n/u2192/u221en an /u003c1 allora la serie è convergente (criterio della radice). b) se an /u003e0 e lim n/u2192/u221e an/u002b1 an /u003c1 allora la serie è convergente (criterio del rapporto) c) se 0 /u2264an /u2264bn, se la serie /u2211n/u003d0 /u221ebn converge allora anche /u2211n/u003d0 /u221ean è convergente (criterio del rapporto) d) se /u2211n/u003d0 /u221e|an| è convergente allora anche /u2211n/u003d0 /u221ean è convergente (criterio della assoluta convergente) e) se 0 /u2264an e an/u002b1 /u2264an cioè i termini formano una successione…