Serie numeriche

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SERIE NUMERICHE Esercizi risolti 1. Applicando la deflnizione di convergenza di una serie stabilire il carattere delle seguenti serie, e, in caso di convergenza, trovarne la somma: a) 1X n=1 2 n2 +2n b) 1X n=1 pn +1¡pnp n2 +n 2. Veriflcare (utilizzando la condizione necessaria per la convergenza) che le seguenti serie non convergono: a) 1X n=1 (¡1)n n n +1 b) 1X n=1 1 npn c) 1X n=1 (¡1)n 1 log(1 + 1 n ) d) 1X n=0 sinn 3. Utilizzando la serie geometrica, discutere il comportamento delle serie seguenti e calcolarne la somma. Determinare inoltre per quali valori del parametro fi2 I R la somma delle serie b) e c) risulta 1 3. a) 1X n=0 2n +3n 5n b) 1X n=0 (logfi)n ;fi 2]0;1[ c) 1X n=1 1 (1 +fi)n 4. Utilizzando i criteri del rapporto, della radice, del confronto e del confronto asintotico, dire se le seguenti serie (a termini positivi) convergono: a) 1X n=0 n2 3n b) 1X n=1 (2n)! (n!)2 c) 1X n=1 1 nn d) 1X n=1 2n¢n! nn e) 1X n=1 (n!)2 2n2 f) 1X n=3 logn n g) 1X n=1 µ 1¡ 1 n ¶n2 h) 1X n=2 1 (logn)n=2 i) 1X n=1 (npn¡ 1)n j) 1X n=1 j sinnj n2 k) 1X n=0 3n2 +1 n4 +n +1 l) 1X n=1 1pn m) 1X n=1 1pn(1 +n) n) 1X n=0 n n2 +1 5. Utilizzando il criterio di Leibniz, discutere la convergenza semplice e assoluta delle seguenti serie: a) 1X n=1 (¡1)n sin 1 n b) 1X n=1 (¡1)n+1 1pn +2 c) 1X n=1 (¡1)n µ2n + 100 3n +1 ¶n d) 1X n=3 (¡1)n 1 logn e) 1X n=1 pn cos(…n) n3 +3 f) 1X n=1 (¡1)n+1 1 n2 g) 1X n=1 (¡1)n µ 1¡n sin 1 n ¶ h) 1X n=1 (¡1)n( np 3¡ 1) 6. Utilizzando il criterio di MacLaurin discutere il comportamento delle seguenti serie: a) 1X n=2 1 n logn b) 1X n=2 1 n log2n c) 1X n=2 1 nplogn d) 1X n=1 an n ;a 2 ]0 ; +1 [ 7. Utilizzando il teorema di MacLaurin provare che la seguente serie converge e trovare un maggiorante e un minorante per la somma: 1X n=1 1 (2n +1 )2 8. Utilizzando il fatto che…