sol 05 02 2020

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An.II – Bio 5/02/2020 1/5 Cognome …………………… Nome ………………… Matr. ………… Firma ……………… T Ex1 Ex2 Ex3 Ex4 Tot Consegnare solo questi fogli. Non si accettano fogli di brutta. 1. La forma quadratica ( ) 22, 6 9q x y x xy y= − + è: (a) definita positiva, (b) definita negativa, (c) semidefinita positiva, (d) indefinita. 2. Sia  na una successione di numeri reali non negativi. Allora: (a) ( ) 1 1 n n n a + = − converge, (b)  + =1n na converge, (c)  + =1n na diverge, (d)  + =1n na è regolare. 3. Sia nRE un insieme chiuso. Allora: (a) EE= , (b) se E non ha punti interni, ne segue che E = , (c) EE , (d) ogni punto E0x è d’accumulazione per E . Definizione di campo vettoriale conservativo. Espressione dell’integrale generale di un’equazione lineare omogenea del primo ordine in forma normale. (enunciato e dimostrazione) An.II – Bio 5/02/2020 2/5 Ex 1 Data l’equazione differenziale 015'2'' =−+ zzz a) calcolarne l’integrale generale eq. caratt. 01522 =−+ rr , 51 −=r e 32 =r integrale generale ( ) xx ececxz 3 2 5 1 += − , R 21,cc b) calcolare l’integrale generale dell’equazione xexxyyy 32 8191515'2'' −−=−+ - ricerca di una soluzione particolare di xxyyy 191515'2'' 2 −=−+ ( ) cbxaxxu ++= 2 1 , ( ) baxxu += 2'1 , ( ) axu 2''1 = xxcbxaxbaxa 1915151515242 22 −=−−−++ →    =−+ −=− =− 01522 19154 1515 cba ba a → 1−=a , 1=b , 0=c quindi ( ) xxxu +−= 2 1 - ricerca di una soluzione particolare di xeyyy 3815'2'' −=−+ ( ) xkxexu 3 2 = , ( ) xx kxekexu 33 2 3' += , ( ) xx kxekexu 33 2 96'' += xxxxxx ekxekxekekxeke 333333 8156296 −=−+++ 8156296 −=−+++ kxkxkkxk → 1−=k quindi ( ) xxexu 3 2 −= - Per il principi o di sovrapposizione, ( ) xxexxxu 32 −−−= , è una soluzione particolare dell’equazione data, il cui integrale generale è quindi ( ) xxx xexxececxy 323 2 5 1 −+−+= − , R…