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1 ANALISI MATEMATICA II ( ingegneria Biomedica ) Prima prova in itinere 5/5/15 Cognome : …............................................. Nome : ………………………………. Matricola : ……… Tema B Istruzioni: Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessità, sul retro. Non si accettano fogli di brutta. Domande di teoria 1. (1 pt.) Definizione di arco di curva semplice. 2. (1 pt.) Enunciare con precisione il teorema di Fermat 3. (1+1+3 pt.) Dopo aver dato la definizione di campo vettoriale conservativo, enunciare e dimostrare il teorema per il calcolo del lavoro di un campo conservativo 4. (1+1+1 pt.) Sia RR →2:f . La differenziabilità di f in un punto ( )00, yx implica la continuità nel punto? In caso affermativo, dimostrare l’affermazione, in caso negativo, dare un controesempio. 2 Ex 1 (a) Dire se il campo vettoriale ( ) ( ) ( ) jiF 222 1 12 11, y ey y eyx xx + −+      +−= è conservativo motivando opportunamente la risposta e, in caso affermativo, calcolarne un potenziale. (b) Calcolare il lavoro di F lungo l’arco di linea  che è il tratto di ellisse 14 22 =+ yx che si trova nel primo quadrante percorso in senso orario. Sol. (a) Si osserva che ( )21 RF C . Posto ( ) 21 11, y eyxF x +−= , ( ) ( ) ( ) 222 1 12, y eyyxF x + −= , segue: ( ) ( ) 22 1 1 2, y yeyxy F x + =  , ( ) ( ) 22 2 1 2, y ye x yxF x + =  Essendo ( ) ( )yxx Fyxy F ,, 21  =  , il campo è irrotazionale in 2R=D , e poiché D è semplicemente connesso, si conclude che il campo è conservativo. Detto ( )yxUU ,= un potenziale, segue: ( ) ( )ygy exdxy eyxU xx ++−=      +−=  22 111, , dove ( )ygg = è una funzione incognita da determinarsi tenendo presente che ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 1 12' 1 2, y eyyg y yeyxU xx y +…