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15/04/19 A 1 ANALISI MATEMATICA II Ing. Biomedica Cognome: …............................................. Nome: ………………………………. Matricola: ……… ex 1 ex 2 ex 3 ex 4 teoria totale Istruzioni: Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessità, sul retro. Non si accettano fogli di brutta. 1. La forma quadratica in 3R ( ) 22 32,, yxzyxf += è: (a) definita positiva, (b) semidefinita positiva, (c) indefinita, (d) nessuna delle precedenti risposte è corretta. 2. Sia nRE un insieme chiuso. Allora: (a) ogni punto E0x è d’accumulazione per E , (b) se E non ha punti interni, ne segue che E = , (c) EE , (d) EE= . 3. Siano 1 e 2 due curve equivalenti. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) 1 e 2 possono avere sostegni diversi, (b) 1 e 2 hanno orientamento opposto, (c) 1 e 2 hanno la stessa lunghezza, (d) 1 e 2 hanno, punto per punto, lo stesso vettore tangente. 1. Definizione di derivata direzionale di una 2:f →RR in un punto 0x . 2. Teorema di Fermat (enunciato e dimostrazione). (Scrivere sul retro del foglio) 15/04/19 A 2 Ex 1 Sia data la funzione ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 1 , , 0,0 , , 0, , 0,0 xye xy f x y xy xy + − = +  = a) stabilire se f è continua nell’origine si osserva che ( ) 2 110, yyeefy yy −−== , se 0y  ; poiché ( )0 0 0 1lim 0, lim lim sgn y y y y ef y y y → → → −== non esiste, ne segue che la funzione non è continua nell’origine. b) dire per quali direzioni v esiste ( )0,0Dfv sia ( ),=v con 22 1= + =v ( ) ( ) ( ) 0 0 0 , 0,0 1lim lim lim t t t t f t t f e t t t t   + → → → − −+== Questo limite esiste se e solo se 0+= , cioè =−  11, 22 =− u , con ( )0,0 0Df =u . Ex 2 Sia dato il campo vettoriale ( ) 2 2 2 2 ,6 11 xyx y x x y x y  = +…