Soluzionisecondaprova2011

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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Algebra lineare e geometria 2a Prova intermedia Docente: I. Sabadini 5 Luglio 2011 Cognome: Nome: Matricola: • Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giustificate 1. Sia A una matrice reale e simmetrica di ordine 3 con autovalori 0 , −2, 3 e siano, rispettivamente, u, v, w autovettori unitari ad essi associati. (a) Determinare il nucleo, lo spazio colonna e lo spazio riga della matrice A, in termini di u, v, w; (b) determinare tutti i vettori x tali che Ax = 3v − w; (c) caratterizzare i vettori b per cui il sistema Ax = b ha soluzione. La soluzione, quando esiste, pu` o essere unica? Soluzione. (a) La matrice A ` e reale simmetrica e quindi, per il Teorema Spettrale, ` e simile alla matrice D = diag(0, −2, 3). La matrice D ha rango 2 quindi anche r(A) = 2. Si deduce che dim Col( A) = 2 e dim ker( A) = 1. Osserviamo ora che v, w sono tali che Av = −2v, Aw = 3 w, quindi appartengono a Col( A) e Col( A) = L(v, w); i due vettori v, w sono linearmente indipendenti in quanto appartengono ad autospazi diversi, quindi costituiscono una base per Col( A). Row( A) = Col( A) perch` eA ` e simmetrica. Il vettore non nullo u appartiene a ker( A) quindi ker( A) = L(u). (b) Si ha che A(−1/2v) = v e A(1/3w) = w, da cui si ricava che A ( − 3 2 v − 1 3 w ) = 3v − w. Per determinare tutti i vettori x tali che Ax = 3 v − w basta aggiungere al vettore trovato un elemento del nucleo di A, ovvero x = − 3 2 v − 1 3 w + ku, k ∈R. (c) i vettori colonna b per cui il sistema Ax = b ha soluzione appartengono a Col( A) e quindi sono del tipo b = kv + hw al variare di k, h inR. Il sistema, quando risolubile,…