Sviluppi di Taylor 2

Page 1

Sviluppi di T aylor Esercizi risolti Esercizio 1 Utilizzando gli sviluppi fondamentali, calcolare gli sviluppi di McLaurin (con resto di Peano) delle funzioni seguenti fino all’ ordine n indicato: 1. f (x) = ln(1 + 3 x) ( n = 3) 2. f (x) = cos( x2) ( n = 10) 3. f (x) = √1 + x − √1 − x (n = 3) 4. f (x) = sin( x2) − sinh(x2) ( n = 6) 5. f (x) = e x3 − 1 − sin(x3) ( n = 12) 6. f (x) = ( e3x − 1 ) sin 2x (n = 4) 7. f (x) = (e −x − 1)3 (n = 4) Esercizio 2 Calcolare lo sviluppo di Taylor con resto di Peano delle seguenti funzioni nel punto x0 indicato e fino all’ ordine n richiesto: 1. f (x) = e x x0 = −1, ( n = 3) 2. f (x) = sin x x 0 = π/ 2, ( n = 5) 3. f (x) = 2 + x + 3x2 − x3 x0 = 1, ( n = 2) 4. f (x) = ln x x 0 = 2, ( n = 3) Esercizio 3 Calcolare lo sviluppo di McLaurin con resto di Peano delle seguenti funzioni fino all’ ordine n richiesto: 1. f (x) = ln(1 + sin x), ( n = 3) 2. f (x) = ln(cos x), ( n = 4) 3. f (x) = 1 1 + x + x2 , (n = 4) 4. f (x) = √ cosh x, ( n = 4) Esercizio 4 Utilizzando gli sviluppi di Taylor, calcolare l’ ordine di infinitesimo e la parte principale (rispetto alla funzione campione usuale) delle seguenti funzioni: 1. f (x) = sin x − x cos x√ 3 x → 0 2. f (x) = cosh 2 x − √ 1 + 2x2 x → 0 3. f (x) = e 1/x − esin(1/x ) x → +∞ Esercizio 5 Utilizzando gli sviluppi di Taylor, calcolare i seguenti limiti: 1. lim x→ 0 ex − 1 + ln(1 − x) tan x − x 2. lim x→ 0 ex2 − cos x − 3 2 x2 x4 3. lim x→ 0 log(1 + x arctan x) + 1 − ex2 √ 1 + 2x4 − 1 4. lim x→ +∞ ( x − x2 log ( 1 + sin 1x )) 5. lim x→ 0 51+tan2 x − 5 1 − cos x Svolgimenti Esercizio 1 1. Utilizziamo lo sviluppo fondamentale ln(1 + z) = z − z2 2 + z3 3 + . . . + (−1)n+1 zn n + o(zn), (1) operando la sostituzione z = 3x. Poich´ ez = 3x ≍ x per x → 0 si ha che o(x) = o(z). Possiamo quindi arrestare lo…