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Analisi Matematica 2 - 15 gennaio 2019 Prof. E. Maluta Cognome: Nome: Matricola: Compito A 1. (Punti 8) Data la funzione f de nita su R2 da f (x; y) = e 2(x+y) ( x2 + y2 1 ) a) determinare la linea di livello 0 della funzione e scrivere, nel generico punto P0 di , il gradiente di f e uno dei due versori tangente a ; b) determinare gli eventuali punti di massimo o di minimo locale di f su R2; c) determinare massimo e minimo assoluto di f ristretta all'insieme Ω = f(x; y) 2 R2 : x2 + y2 1 ^ x + y 1g; d) stabilire se il punto (1 2 ; 1 2 ) , che 2 @Ω, e di minimo locale per f su Ω; e) stabilire se esiste lim (x;y)!1 f (x; y); f) sulla base delle informazioni n qui trovate, precisare, giusti cando la risposta, se f ammette massimo e/o minimo globale su R2. 2. (Punti 5) (i) Risolvere, determinando il massimo intervallo di prolungabilit a della soluzione, il problema di Cauchy { y′ = y t + 2y2 log t y(1) = 1 (ii) Per quali y0 2 R la soluzione del problema con y(1) =y0 e prolungabile all'intervallo (0; 1)? 3. (Punti 5) Assegnato il campo vettoriale F de nito da F(x; y) = ( log(y2 x2) 2y2 y2 x2 ; 2xy y2 x2 ) (i) determinare il dominio Ω di F e precisare le propriet a topologiche di Ω rilevanti per lo studio del campo; (ii) stabilire se F e irrotazionale su Ω; (iii) calcolare il lavoro di F su una curva , regolare a tratti, che abbia punto iniziale A(0; 1) e punto nale B( 1 3 ; 3), precisando se tale curva pu o essere scelta arbitrariamente in R2 e se il lavoro dipende dalla scelta della curva. 2
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