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Analisi Matematica 2 - prof. E.Maluta - 15 giugno 2020 Ogni risposta va scritta nello spazio individuato dal numero del corrispondente quesito sul foglio delle risposte e va motivata con calcoli o/e spiegazioni sintetiche. 1. Calcolare ∫ Q 1 x2+y2dxdy doveQ ={(x,y )∈ R2 : 1≤x2 +y2≤ 2∧ 0≤x≤ √ 3y} 2. Calcolare ∫ 1 0 sinx2dx a meno di10−3; 3. Un’equazione lineare omogenea del II ordine ha tra le proprie soluzioniφ1(t) = e−2t e φ2(t) = te−2t. Quante soluzioni dell’equazione passano per il punto(0, 3)? Determinarle. 4. Determinare tutte le soluzioni dell’equazioney′ = 10y−y2; 5. Dato il sistema y′(t) = Ay(t) con A = (3 2 0 −1 ) stabilire se esistono soluzioni non nulle limitate in un intorno di +∞ e in caso affermativo determinarle. 6. Sia f : R2→ R la funzione definita daf (x,y ) = y2− 8x2 +x4. Dopo aver giustificato la differenziabilitá dif su tutto R2 scrivere l’equazione del piano tangente al grafico dif nel punto (2, 1,f (2, 1)). 7. Per laf del punto precedente, determinare gli eventuali punti di massimo o di minimo locale suR2. 8. Per laf del punto precedente, determinareSup(f ) e Inf(f ) su R2, precisando se sono Massimo e Minimo assoluto. 9. Per laf del punto precedente, disegnare la curva di livello0 di f. 10. Scrivere un’equazione parametrica della curvaγ arco della parabola di equazione y = 1 −x2 percorso dal punto (0, 1) al punto (2,−3) e determinare il relativo vettore tangente. 11. Sia F il campo vettoriale piano definito daF(x,y ) = 2xyi + ( 1 +x2) j. Scrivere, come integrale di una sola variabilet, il lavoro ∫ γ F· (dx,dy ) doveγ è la curva parametrizzata nel precedente esercizio e calcolarlo. 12. Con riferimento alla domanda precedente, stabilire seF ammette potenziale suR2. 13. Scrivere il generico problema di Cauchy per un’equazione lineare del II ordiney′′…
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