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Analisi Matematica 2 - 17 luglio 2019 Prof. E. Maluta Cognome: Nome: Matricola: Compito B 1. (Punti 6) Assegnata l’equazione differenziale y′ = 2t (cosy)2 (1) (a) stabilire se i problemi di Cauchy relativi all’equazione (1) con condizione iniziale y(1) = y0 per y0 = π 4, π 2, π ammettono soluzioni e in caso affermativo determinarle; (b) disegnare un grafico qualitativo della soluzione nel caso y0 = π 4 . (Si ricorda che (cosy)2 = 1 1+(tany)2 .) 2. (Punti 6) Stabilire per quale valore del parametroα∈ R il campoF definito da F (x,y ) = ( α 1 +y2,− xy (1 +y2)2 ) ` e conservativo sul proprio dominio. Per tale valore di α calcolare ∫ γ F (x,y )· (dx,dy ) doveγ ` e la curva di equazioner(t) = ( cos(πt), 2 sin (π 4t )) con t∈ [2, 3]. 3. (Punti 6) Si consideri la funzione f(x) = { sinx x se x̸= 0 1 se x = 0 . i) Si determini la serie di Mc Laurin associata a f e si determini il raggio di convergenza di tale serie. ii) Stabilire se ` e possibile applicare il teorema di integrazione per serie per il calcolo di I = ∫ 1 0 f(x) dx . iii) Calcolare I con un errore ε < 10−2 specificando se il valore trovato approssima I per difetto o per eccesso.
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