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Analisi Matematica 2 - 18 luglio 2018 Prof. E. Maluta Cognome: Nome: Matricola: Compito A 1. (Punti 9) Sia D⊂ R3 definito da D ={(x, y, z)∈ R3 : x2 + y2− y≤ 0∧| z|≤ √ x2 + y2}. Calcolare il volume di D. 2. (Punti 9) Dato il campo vettoriale F definito da F(x, y) = ( y (x− 2)2 + y2 , 2− x (x− 2)2 + y2 ) (i) determinare il dominio Ω di F e precisare le propriet´ a topologiche di Ω rilevanti per lo studio del campo; (ii) stabilire se F ´ e irrotazionale su Ω; (iii) calcolare il lavoro di F , separatamente, sulle circonferenze unitarieC1 e C2 centrate rispettivamente nell’origine e nel punto (2, 0), entrambe percorse in senso antiorario partendo dal punto (1 , 0); (iv) stabilire se F ammette potenziale su Ω. 3. (Punti 10) Data l’equazione differenziale y′ = 1 t y + 1 t y−1 , (1) (a) si stabilisca per quali ( t0, y0)∈ R2 ` e applicabile il teorema di esistenza e unicit` a locale per il problema di Cauchy { (1) y(t0) = y0 ; (b) si stabilisca se esistono soluzioni dell’equazione che cambiano segno nel loro insieme di definizione; (c) si risolva il problema di Cauchy con y(1) = 1, determinando il massimo intervallo di prolungabilit` a della soluzione; (d) si risolva il problema di Cauchy con y(−1) = −1, determinando il massimo intervallo di prolungabilit` a della soluzione.
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