TdE 20 gennaio 2023 testo e soluzioni

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Ingegneria Informatica e Gestionale - Agricultural Engineering Politecnico di Milano - sede di Cremona Analisi Matematica II - primo appello - 20 gennaio 2023 LE RISPOSTE AI QUESITI V ANNO MOTIV A TE. TEORIA (SI DEVONO OTTENERE ALMENO 4 PUNTI) Teoria 1. (5 punti) Fornire la definizione di differenziabilit` a per una funzione f : R2 → R e suo significato geometrico. Enunciare e dimostrare una condizione sufficiente per la differenziabilit` a. Teoria 2. (3 punti) Dare la definizione di coefficienti e serie di Fourier di una funzione f : R→ R, 2π-periodica. Cosa significa che la serie di Fourier di f converge in media quadratica a f? ESERCIZI Esercizio 1. (12 punti) Sia f la funzione f(x,y ) = √ (y−x2)(y− 2x2). (a) (3 punti) Determinare il dominio di f e discuterne le propriet` a topologiche. Determinarne inoltre la frontiera e l’interno. L’interno del dominio ` e un insieme connesso? (b) (3 punti) Determinare (se esistono) massimo e/o minimo assoluti di f. (c) (6 punti) Determinare (se esistono) punti di massimo e/o di minimo assoluto di f nell’insieme D ={(x,y )∈ R2 : 2x2≤y≤ 2}. Soluzione. (a) La funzione ` e definita per { y≥ 2x2 y≥x2 oppure { y≤ 2x2 y≤x2 quindi domf = { (x,y )∈ R2 :y≤x2 ∧ y≥ 2x2} . Il dominio di f ` e chiuso, illimitato, connesso. ∂ domf = { (x,y )∈ R2 :y =x2∧y = 2x2} e Int (dom f) = { (x,y )∈ R2 :y <x2∧y >2x2} . Int (domf) non ` e connesso. (b) f(x,y )≥ 0, per ogni (x,y )∈ domf e f(x,y ) = 0 se e solo se ( x,y )∈∂domf. I punti di ∂domf risultano quindi punti di minimo assoluto per f. Essendo lim y→∞ f(0,y ) = lim y→∞ √ y2 = +∞, otteniamo che supf = +∞, quindi f non ammette massimo assoluto. (c) D γ2 γ1 P1 Essendo f continua in D, insieme chiuso e limitato, il teorema di Weiertrass assicura l’esistenza di massimo e minimo assoluti per f in D. Cerchiamo i…