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Analisi Matematica 2 - 20 giugno 2019 Prof. E. Maluta Cognome: Nome: Matricola: Compito B 1. (Punti 6) Data l’equazione differenziale t2y′′ + 4ty′ + 2y = t3, (a) determinarne l’integrale generale; (b) stabilire se esistono soluzioni ψ tali che lim t→0 ψ(t) sia finito e in caso affermativo determinarle. 2. (Punti 5) Calcolare la massa della linea materiale avente equazione r(t) = eti + 2e−tj + 2tk, t ∈ [1, 3], sapendo che la sua densit` a lineare valeδ(x, y, z) = 2xz. 3. (Punti 7) Sia f la funzione 2π periodica definita su [−π, π) da f(x) = x−|x| 2 : (a) disegnare il grafico di f sull’intervallo (−2π, 2π); (b) scrivere la serie di Fourier di f; (c) calcolare il limite puntuale della serie di Fourier di f; (d) che cosa si pu` o dire sulla convergenza totale della serie di Fourier di f sull’ intervallo (−2π, 2π)? (e) Facoltativo - (Punti 2) dedurre dai risultati precedenti il valore della somma della serie numerica +∞∑ k=0 1 (2k + 1)2 .
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