TdE 20 giugno 2023 testo e soluzioni

Page 1

Ing. Informatica e Gestionale - Agricultural Eng. - Politecnico di Milano - sede di Cremona Analisi Matematica II - terzo appello - 22 giugno 2023 LE RISPOSTE AI QUESITI V ANNO MOTIV A TE. TEORIA (SI DEVONO OTTENERE ALMENO 4 PUNTI) Teoria 1. (5 punti) Fornire la definizione di differenziabilit` a per una funzionef : Rn→ R. Enunciare e dimostrare una condizione necessaria per la differenziabilit` a. Tale condizione ` e anche sufficiente? Teoria 2. (3 punti) Enunciare i teoremi sulla convergenza puntuale di una serie di Fourier. ESERCIZI Es. 1 (12 punti) Sia f la funzione f(x,y ) = ln ( (x +y)|x| ) . (a) (2 punti) Determinare il dominio di f e discuterne le propriet` a topologiche. (b) (3 punti) Determinare se f ` e continua, derivabile, differenziabile nel suo dominio. (c) (2 punti) Determinare (se esistono) massimo e/o minimo assoluti di f. (d) (5 punti) Determinare (se esistono) punti di massimo e/o di minimo assoluto di f nell’insieme D ={(x,y )∈ R2 : (x− 2)2≤y≤ 1}. Soluzione. (a) La funzione ` e definita in domf = { (x,y ) :y >−x, x̸= 0, } quindi il dominio ` e aperto, non connesso, non limitato: (b) f ` e continua in domf perch` e composizione di funzioni continue. Le derivate parziali ∂xf(x,y ) = 1 (x +y)|x| ( 2|x| +y x |x| ) =    1 (x+y)x(2x +y) se x> 0, y >−x 1 −(x+y)x(−2x−y) se x< 0, y >−x = 2x +y (x +y)x, per y≥−x, x̸= 0, e ∂yf(x,y ) = 1 (x +y) per y≥−x, x̸= 0 sono definite e continue in domf, ove f risulta quindi derivabile e differenziale. (c) Essendo lim x→0+ f(x,x ) = lim x→0+ ln(2x2) =−∞ e lim x→+∞ f(x,x ) = lim x→+∞ ln(2x2) = +∞ non esistono massimo e minimo assoluti. (d) D Essendo f continua in D, insieme chiuso e limitato, il teorema di Weiertrass assicura l’esistenza di massimo e minimo assoluti per f in D. Cerchiamo i candidati punti di massimo e minimo…