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Analisi Matematica 2 - 19 gennaio 2018 Prof. E. Maluta Cognome: Nome: Matricola: Compito A 1. (Punti 9) (a) Dopo averne giustificato l’esistenza, determinare massimi e minimi della funzione f definita da f(x,y ) = √ 3x +y− 2, soggetta al vincolo V = {(x,y )∈ R2; x2 +y2− 2y = 0}. (b) Stabilire se i punti di estremo trovati su V sono anche punti di massimo e minimo assoluto nell’insieme C ={(x,y )∈ R2; x2 +y2− 2y≤ 0}. (c) Determinare gli estremi assoluti di |f| nell’insieme C, precisando in quali punti di C vengono assunti. 2. (Punti 9) Sia f la funzione definita da f(x,y,z ) = z √ x2 +y2 x2(z2 + 1) e sia D ={(x,y,z )∈ R3 : 1≤x2+y2≤ 9 ∧ 0≤z≤ √ x2 +y2 ∧ 0< √ 3y <x}. Dopo averne giustificato l’esistenza, calcolare ∫ D f(x,y,z )dxdydz. 3. (Punti 10) Assegnato il problema di Cauchy { y′ = 2x 1+(tan y)2 y(x0) =y0 a) per quali ( x0,y 0)∈ R2 il problema ammette una e una sola soluzione locale? b) Determinare la soluzione φ1 tale che φ1(1) = 0, precisando l’insieme di R su cui essa ` e soluzione e se essa ` e unica su tutto tale insieme, e disegnarne un grafico qualitativo. c) determinare la soluzione φ2 tale che φ2(0) =−π.
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