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Analisi Matematica 2 - 5 febbraio 2019 Prof. E. Maluta Cognome: Nome: Matricola: Compito A 1. (Punti 6) Sia Ω = f(x; y; z)2 R3 : 0 z x2 + y2 2g: Dopo aver disegnato Ω, calcolare ∫ Ω x2ez dx dy dz : 2. (Punti 6) Data la funzione f de nita su R2 da f (x; y) = x2y + xy2 5xy 2x (a) stabilire, senza l'uso di gradiente o hessiano, se punti di massimo o di minimo locale di f in R2 possono essere situati sull'asse y = 0; (b) stabilire se esiste lim (x;y)!1 f (x; y); (c) determinare il massimo e il minimo globale di f e gli eventuali punti di massimo o di minimo locale nel triangolo T = f(x; y) 2 R2; x 0; y 0; x + y 5g: 3. (Punti 6) Determinare un sistema fondamentale di soluzioni reali per il sistema 8 >< >: x′ = x y′ = 2y + z z′ = y + 2z e scriverne l'integrale generale nella forma ϕ(t) = ( x(t); y(t); z(t)). Esistono soluzioni non identicamente nulle limitate su R? e limitate su (0; +1)? In caso di risposta affermativa, precisare quali sono. Determinare poi l'integrale generale del problema non omogeneo associato 8 >< >: x′ = x 1 y′ = 2y + z + 1 z′ = y + 2z + 2 (si suggerisce di NON usare il metodo di variazione delle costanti arbitrarie).
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