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Analisi Matematica 2 - 10 febbraio 2020 Prof. E. Maluta Cognome: Nome: Matricola: Compito B 1. (Punti 7) Sia f la funzione definita su R2 da f(x, y) = y−| x|y. stabilire dove f ` e continua, dove ` e derivabile e dove ` e differenziabile; stabilire se f ammette massimo e/o minimo assoluto su R2 determinare gli eventuali punti stazionari di f e studiarne la natura; stabilire se f ammette massimo e/o minimo assoluto sul dominio D ={(x, y)∈ R2 : x2− 2x + y2 + 3 4≤ 0} e, in caso affermativo, determinarli. 2. (Punti 5) Sia Ω ={(x, y, z)∈ R3 : x≥ 0∧ x2 + y2 + z2≤ 1∧ √ x2 + y2− 1≤ z} . (a) Calcolare ∫ Ω z dxdydz . (b) Disegnare Ω (il disegno non ` e necessario per il calcolo dell’integrale, ma pu` o essere fatto facilmente riconoscendo le superfici che delimitano Ω). 3. (Punti 6) Si consideri l’equazione differenziale y′ = ty 1 + t2 . (∗) a) Determinare tutte le soluzioni di (*) il cui grafico ` e una retta . b) Risolvere per (*) i due problemi di Cauchy con condizione iniziale rispet- tivamente y(0) = 1 e y(0) =−1.
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