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Analisi Matematica 2 - 11 settembre 2015 Prof. E. Maluta Cognome: Nome: Matricola: Compito A 1. (Punti 11) Calcolare ∫ Ω z2√ x2 +y2 x2(z2 + 1) dxdydz dove Ω ={(x,y,z )∈ R3 : 1≤ (x2+y2)≤ 3∧ 0≤z≤ √ x2 +y2∧− √ 3x<y < 0}. Si consiglia di disegnare Ω 0, proiezione di Ω sul piano z = 0. 2. (Punti 10) Determinare la soluzione φ del problema di Cauchy { y′ = y t +e− y t y(1) = 0 precisando il dominio D su cui φ ` e soluzione e i limiti diφ agli estremi di tale dominio. La soluzione ` e unica suD? 3. (Punti 3 - F ACOLTATIVO) Nel caso sia lim φ = 0 o lim φ =∞, deter- minare la pi` u semplice funzione asintotica aφ. 4. (Punti 9) Assegnato, in dipendenza dal parametro α∈ R, il campo vetto- riale Fα(x,y ) = ( α 4x + 2y +y2, 1 +y 4x + 2y +y2 ) stabilire per quale valore di α e in quali regioni del piano R2 esso ´ e conser- vativo. Per tale valore di α calcolare ∫ γ Fα(x,y )· (dx,dy ) doveγ ´ e l’arco orientato della parabola di equazioney = 4−x2 che va da (0, 4) a (1, 3).
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