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ANALISI MATEMATICA 2 - Prof. E.Maluta. 2 marzo 2015 COMPITO B 1. (Punti 9) Risolvere i problemi di Cauchy { y′− 3t2y4 = 0 y(1) = 1 3 e { y′− 3t2y4 = 0 y(1) = 0 precisando, per ciascuna soluzione, il massimo insieme in cui essa esiste ed ` e unica ed il suo comportamento agli estremi di tale insieme. 2. (Punti 13) Sia Ω ={(x,y,z )∈ R3 : x2 +y2≤ 1 2∧ √ x2 +y2≤z≤ √ 1−x2−y2}. Supponendo che Ω sia costituito di materiale omogeneo, determinarne (a) il baricentro; (b) il momento d’inerzia. 3. (Punti 8) Data, al variare di α∈ R, la forma differenziale x y dx− αx2 y2 dy stabilire per quali valori diα e su quali domini essa ` e esatta. Per tale valore diα calcolare ∫ γ x y dx− αx2 y2 dy doveγ ` e la semicirconferenza che ha per diametro il segmento [(2, 2), (4, 4)], percorsa in senso antiorario partendo da (2, 2). 4. ( Facoltativo - Punti 3) Detta U una funzione potenziale del campo associato alla forma differenziale dell’esercizio 3. e considerata la funzione ˜U(x,y ) = { U(x,y ) y̸= 0 0 y = 0 stabilire se esistono punti di y = 0 in cui ˜U ` e continua.
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