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Analisi Matematica 2 - 27 agosto 2019 Prof. E. Maluta Cognome: Nome: Matricola: Compito B 1. (Punti 6) Si consideri la funzione f(x, y) = arctan(y− x2) + x2− y x2 + y2 se (x, y)̸= (0, 0) 0 se ( x, y) = (0, 0) . a) Stabilire se nell’origine (0,0) la funzionef ` e continua, derivabile in tutte le direzioni, differenziabile. (Si consiglia di utilizzare l’uguaglianza arctan t = t− t3 3 + o(t3) per t→ 0). b) Determinare, al variare di y in R, il segno di f(1, y). c) Determinare l’equazione del piano Π tangente alla superficie di equazione z = f(x, y) nel punto (1 , 1, f(1, 1)). Stabilire poi se Π viene attraversato dalla superficie. 2. (Punti 5) Calcolare ∫ Ω xy dx dy dove Ω ` e la parte del cerchio di centro C = (0, 1) e raggio 1 che giace nel semipiano delle x positive. 3. (Punti 7) Risolvere i problemi di Cauchy { 2y′ = y x− 1 y y(1) =−2 e { 2y′ = y x− 1 y y(−e) = 2√e precisando il campo di esistenza delle soluzioni e la loro eventuale prolunga- bilit` a.
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