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ANALISI MATEMATICA 2 - Prof. E.Maluta. 29 luglio 2015 COMPITO A 1. (Punti 10) - Sia f :A⊂ R2−→ R, la funzione definita da f(x,y ) = log(xy− 1) +x2− 1. (a) Determinare il dominio A di f e disegnarlo nel piano R2; (b) giustificare l’ esistenza del piano tangente al grafico di f nel punto ˜P = (1, 2,f (1, 2)) e scriverne l’ equazione; (c) stabilire se, in un intorno di (1 , 2), il grafico sta in uno dei due semispazi determinati dal piano tangente; (d) stabilire se f ammette punti di massimo o minimo locale in A: in caso di risposta affermativa, determinarli. (e) ( Facoltativo - punti 3) calcolare nel punto P = (1, 2) la derivata direzionale di f nella direzione della retta di equazione y =−4x, orientata nel verso delle x crescenti; determinare il versore per cui la derivata direzionale in P assume valore massimo. 2. (Punti 10) Assegnato, in dipendenza dal parametro α∈ R, il campo vettoriale Fα(x,y ) = x +αy x2 + 2y2 i + αx + 2y x2 + 2y2 j stabilire per quali valori di α Fα ` e irrotazionale sul proprio dominio. Per tali valori di α calcolare il lavoro del campo • sull’ arco di curva γ di equazione polare ρ =eθ con θ∈ [0, π 3 ]; • sull’ellisse Γ di equazione x2 2 +y2 = 2. Su quali regioni del dominio si pu` o garantire che il campo sia conservativo? 3. (Punti 10) - Determinarne la soluzione φ del problema di Cauchy { y′ = xy 1−x2 (1 +y) y(0) = 1 precisando qual ` e il pi` u grande intervallo su cuiφ ` e soluzione. φ ` e l’unica soluzione del problema? (giustificare la risposta.)
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