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Analisi Matematica 2 - 30 giugno 2017 Prof. E. Maluta Cognome: Nome: Matricola: Compito A 1. (Punti 10) Sia f la funzione 2π-periodica definita ponendo f(x) =| cosx| su [−π,π ). (a) Disegnare il grafico di f sull’intervallo [−2π, 2π]. (b) Determinare le serie di Fourier associata af (per il calcolo dei coefficienti si ricorda che cosα· cosβ = cos(α−β)+cos(α+β) 2 ); (c) studiare la convergenza (puntuale,in media quadratica, totale) di tale serie. (d)(Facoltativo - Punti 3) Verificare che ∞∑ n=1 1 1− 4n2 =−1 2. 2. (Punti 9)Verificare che, per ogni a> 0 vale (per l’integrale di una variabile reale!) ∫ a 0 √ a2−t2dt = π 4a2 (si potr` a usare sia una sostituzione che un ragionamento geometrico). Sia poi Ω = {(x,y,z )∈ R3; 0≤z≤x≤ 1, 0≤y≤x3}; calcolare l’integrale triplo ∫ Ω ey√ x2−z2dxdydz . 3. (Punti 9) Si consideri l’ equazione differenziale y′ = et ye−y2. a) stabilire, senza fare conti, se l’equazione ammette, su qualche inter- vallo, soluzioni costanti; b) determinare tutte le soluzioni dell’ equazione; c) risolvere il problema di Cauchy associato all’ equazione con dato ini- ziale y(0) = 1, precisando l’ insieme di definizione della soluzione e il suo comportamento agli estremi dell’insieme di definizione.
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