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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione Appello di Statistica per Ingegneria Energetica 22 settembre 2014 © I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Cognome, Nome e Numero di matricola: Problema 1 . Sia X il numero aleatorio di regali che Leonardo riceverà per il suo primo compleanno. Consideriamo le funzioni F e G, dipendenti dai parametri α,β ∈ R: F (x) =    0, x< 1 1 6, 1≤x< 2 α, 2≤x< 3 5 6, 3≤x< 4 1, x ≥ 4 , G (x) =    0, x< 1 1 3, 1≤x< 2 β, 2≤x< 4 1 2, x ≥ 4 , a) Per quali valori di α,β ∈ R le funzioni F e G possono essere funzioni di ripartizione di X? Sia ora F la funzione di ripartizione di X. b) Scrivere la densità di probabilità discreta (funzione di massa di probabilità) di X. c) Sapendo che la probabilità che Leonardo riceva almeno 3 regali per il suo compleanno è pari a 2 3 , calcolare quanto vale il parametro α. d) Calcolare il valor atteso e la varianza di X. e) Qual è la probabilità che Leonardo, tra 40 anni, abbia ricevuto meno di 100 regali di compleanno? Si considerino le variabili X1,...,X 40 che contano i regali ricevuti nei vari anni indipendenti e con la stessa distribuzione di X. Risultati. a) La funzione F è funzione di ripartizione per 1 6 ≤ α≤ 5 6 (infatti è non decrescente, continua da destra, con limx→−∞F (x) = 0 e limx→+∞F (x) = 1). La funzione G non può essere una funzione di ripartizione per nessun valore di β in quanto limx→+∞G(x) = 1/2̸= 1. b) p(1) = 1 6, p (2) =α− 1 6, p (3) = 5 6−α, p (4) = 1 6 . c) 2 3 =P (X≥ 3) =p(3) +p(4) = 5 6−α + 1 6 = 1−α =⇒ α = 1 3 . d) E[X] = 4∑ x=1 xp(x) = 8 3, Var (X) =E[X 2]− (E[X])2 = 4∑ x=1 x2p(x)− (8 3 )2 = 8− 64 9 = 8 9. e) Consideriamo la variabile aleatoria Y = ∑40 i=1Xi che conta il…