02 12 2023

Document information

University: Politecnico di Milano
Degree programme: Aerospace Engineering
Subject: Fisica delle Onde
Material language: Italian
Classification: Exam · First midterm
Content: Exam paper and solution
Original format: PDF
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Prima prova parziale - Fisica 2 per Ingegneria Aerospaziale, AA 2023/24 - 02/12/2023 Cognome e Nome: __________________________________________ Matricola: ______________ Campi (27pt) Un circuito quadrato abcd, con i lati molto lunghi, contiene in serie un condensatore 𝑪𝑪 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏, inizialmente scarico, una resistenza 𝑹𝑹𝟏𝟏 = 𝟐𝟐 𝐤𝐤Ω e un generatore di tensione 𝑽𝑽𝟎𝟎 = 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖. Al momento 𝒕𝒕 = 𝒕𝒕𝟎𝟎 = 𝟎𝟎 l’interruttore viene chiuso e il condensatore comincia a caricarsi. Calcolare: C.1) La corrente, 𝐼𝐼(𝑡𝑡1 ),che scorre nel circuito al tempo 𝒕𝒕𝟏𝟏 = 𝒕𝒕+ 𝟎𝟎 (subito dopo aver chiuso l’interruttore), trascurando gli effetti autoinduttivi C.2) L’energia totale che è stata erogata dal generatore, 𝑊𝑊𝑔𝑔 , quando la carica sul condensatore è pari a 𝑸𝑸𝟐𝟐 = 𝑪𝑪𝑽𝑽𝟎𝟎 Vicino al conduttore ab è posta una piccola spira quadrata di lato 𝑳𝑳 = 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒, resistenza 𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝟎𝟎. 𝟖𝟖 Ω, e autoinduttanza trascurabile, complanare al circuito abcd, con i lati ad esso paralleli e molto vicina al tratto di conduttore ab. La distanza del lato vicino della spira dal filo ab è 𝒅𝒅 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏, gli altri elementi del circuito sono così distanti da poterne trascurare gli effetti. Calcolare C.3) La f.e.m. indotta, ℰ𝑖𝑖 , sulla spira durante la carica del condensatore al tempo 𝒕𝒕𝟏𝟏 C.4) La forza, 𝐹𝐹⃗, cui è soggetta la spira allo stesso istante 𝒕𝒕𝟏𝟏 (indicare le componenti rispetto al sistema di assi in figura). C.5) La carica, Δ𝑄𝑄, che è fluita attraverso la spira tra l’istante prima della chiusura dell’interruttore e il tempo in cui il condensatore è completamente carico. Successivamente, mantenendo il generatore connesso, con un opportuno ulteriore generatore sulla spira piccola, si genera al suo interno una…

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Prima prova parziale - Fisica 2 per Ingegneria Aerospaziale, AA 2023/24 - 02/12/2023 Cognome e Nome: __________________________________________ Matricola: ______________ Campi (27pt) Un circuito rettangolare abcd, con i lati molto lunghi, contiene in serie un condensatore 𝑪𝑪 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐, inizialmente scarico, una resistenza 𝑹𝑹𝟏𝟏 = 𝟏𝟏. 𝟐𝟐 𝐤𝐤Ω e un generatore di tensione 𝑽𝑽𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏. Al momento 𝒕𝒕 = 𝒕𝒕𝟎𝟎 = 𝟎𝟎 l’interruttore viene chiuso e il condensatore comincia a caricarsi. Calcolare: C.1) La corrente, 𝐼𝐼(𝑡𝑡1 ),che scorre nel circuito al tempo 𝒕𝒕𝟏𝟏 = 𝒕𝒕+ 𝟎𝟎 (subito dopo aver chiuso l’interruttore) trascurando gli effetti autoinduttivi C.2) L’energia totale che è stata dissipata sulla resistenza, 𝑊𝑊𝑅𝑅1 , quando la carica sul condensatore è pari a 𝑸𝑸𝟐𝟐 = 𝑪𝑪𝑽𝑽𝟏𝟏 Vicino al conduttore ab è posta una piccola spira quadrata di lato 𝒍𝒍 = 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔, resistenza 𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝟎𝟎. 𝟒𝟒 Ω, e autoinduttanza trascurabile, complanare al circuito abcd, con i lati ad esso paralleli e molto vicina al tratto di conduttore ab. La distanza del lato vicino della spira dal filo ab è 𝒅𝒅 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏, gli altri elementi del circuito sono così distanti da poterne trascurare gli effetti. Calcolare C.3) La f.e.m. indotta, ℰ𝑖𝑖 , sulla spira durante la carica del condensatore al tempo 𝒕𝒕𝟏𝟏 (subito dopo aver chiuso l’interruttore) C.4) La forza, 𝐹𝐹⃗ , cui è soggetta la spira allo stesso istante 𝒕𝒕𝟏𝟏 (indicare le componenti rispetto al sistema di assi in figura). C.5) La carica, Δ𝑄𝑄, che è fluita attraverso la spira tra l’istante prima della chiusura dell’interruttore e il tempo in cui il condensatore è completamente carico. Successivamente, mantenendo il generatore connesso, con un opportuno ulteriore…

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Prima prova parziale - Fisica 2 per Ingegneria Aerospaziale, AA 2023/24 - 02/12/2023 Cognome e Nome: __________________________________________ Matricola: ______________ Soluzioni (v1) Il circuito e’ un RC serie in carica con un generatore di tensione costante 𝑉𝑉0 . L’equazione della ddp ai capi del condensatore e’ (con 𝜏𝜏 = 𝑅𝑅1 𝐶𝐶) 𝑡𝑡 𝑉𝑉𝐶𝐶 = 𝑉𝑉0 �1 − 𝑒𝑒 −𝜏𝜏 � E la corrente e’ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑡𝑡 𝑉𝑉0 −𝑡𝑡 𝐼𝐼 (𝑡𝑡) = = 𝐼𝐼0 𝑒𝑒 −𝜏𝜏 = 𝑒𝑒 𝜏𝜏 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑅𝑅1 C.1) Da qui 𝑉𝑉0 𝐼𝐼(𝑡𝑡1 ) = = 4.25 × 10−1 𝐴𝐴 𝑅𝑅1 C.2) Nel caricare il condensatore il generatore compie un lavoro totale pari a 𝑊𝑊𝑔𝑔 = 2𝑈𝑈𝐶𝐶 = 𝐶𝐶𝑉𝑉02 = 7.23 𝐽𝐽 C.3) Il tratto di filo ab genera un campo magnetico di Biot-Savart. Sul piano della spira questo si puo’ scrivere come: 𝜇𝜇 𝐼𝐼 �⃗(𝑦𝑦) = − 0 𝑧𝑧̂ 𝐵𝐵 2𝜋𝜋𝑦𝑦 Assumendo che la normale positiva della spira sia uscente (+𝑧𝑧̂ ), il flusso di 𝐵𝐵 �⃗ e’ dato da 𝑑𝑑+𝐿𝐿 𝜇𝜇0 𝐼𝐼 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜇𝜇0 𝐼𝐼 𝑑𝑑 + 𝐿𝐿 Φ(𝐵𝐵) = − 𝐿𝐿 � =− 𝐿𝐿 ln � � 2𝜋𝜋 𝑑𝑑 𝑦𝑦 2𝜋𝜋 𝑑𝑑 Da notare come NON si puo’ approssimare il flusso a Φ(𝐵𝐵) = 𝐵𝐵 𝐿𝐿2 poiche’ B non e’ approssimabile a uniforme sulla superficie della spira (il campo varia di un fattore 4 tra il lato 𝑡𝑡 vicino e il lato lontano). Questo flusso non e’ costante nel tempo in quanto 𝐼𝐼(𝑡𝑡) = 𝐼𝐼0 𝑒𝑒 −𝜏𝜏 , quindi Φ(𝐵𝐵) 𝜇𝜇0 𝑑𝑑 + 𝐿𝐿 𝐼𝐼0 −𝑡𝑡 𝜇𝜇0 𝑑𝑑 + 𝐿𝐿 𝐼𝐼0 ℰ𝑖𝑖 = − =− 𝐿𝐿 ln � � 𝑒𝑒 𝜏𝜏 → ℰ𝑖𝑖 (𝑡𝑡1 ) = − 𝐿𝐿 ln � � 𝑑𝑑𝑑𝑑 2𝜋𝜋 𝑑𝑑 𝜏𝜏 2𝜋𝜋 𝑑𝑑 𝜏𝜏 = −2.74 × 10−7 𝑉𝑉 C.4) La ℰ𝑖𝑖 appena calcolata produce una corrente nella spira pari a (sempre nella notazione 𝑛𝑛�𝑠𝑠 = 𝑧𝑧̂ ) ℰ𝑖𝑖 (𝑡𝑡1 ) 𝐼𝐼2 (𝑡𝑡1 ) = = −3.42 × 10−7 𝐴𝐴 𝑅𝑅2 La corrente circola quindi in senso orario. Sui suoi due lati verticali…

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Prima prova parziale - Fisica 2 per Ingegneria Aerospaziale, AA 2023/24 - 02/12/2023 Cognome e Nome: __________________________________________ Matricola: ______________ C.6) La spira ha ora una corrente variabile nel tempo e quindi genera un campo magnetico il cui flusso attraverso il circuito abcd varia nel tempo. Possiamo scrivere Φ𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 �𝐵𝐵𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 � = 𝑀𝑀𝐼𝐼𝑠𝑠 Il coefficiente M e’ gia’ noto da C.3) in quanto si e’ calcolato 𝜇𝜇0 𝑑𝑑 + 𝐿𝐿 Φspira (𝐵𝐵𝑎𝑎𝑎𝑎 ) = − 𝐿𝐿 ln � � 𝐼𝐼 2𝜋𝜋 𝑑𝑑 𝜇𝜇 𝑑𝑑+𝐿𝐿 Da cui 𝑀𝑀 = 2𝜋𝜋0 𝐿𝐿 ln � �. (Il segno dipende da come si e’ scelto di orientare i circuiti e qui 𝑑𝑑 viene tralasciato). 𝑑𝑑𝐼𝐼𝑠𝑠 𝑑𝑑 Δ𝑉𝑉𝐶𝐶′ = ℰ𝑖𝑖′ = 𝑀𝑀 = 𝑀𝑀 (𝑖𝑖0 𝑡𝑡) = 𝑀𝑀𝑖𝑖0 = 5.15 × 10−6 𝑉𝑉 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑

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