07092017 MMIS

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Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Corso di Studi in Ingegneria Matematica Appello di Modelli e Metodi dell’Inferenza Statistica 7 Settembre 2017 c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar` a perseguito. Nome e cognome: Numero di matricola: Esercizio 1 Si consideri un campione composto da un’unica varibile aleatoriaX avente la seguente densit` a di probabilit` a: f(x;θ) = θ−x ln(θ)1(0,∞)(x) = e−x ln(θ) ln(θ)1(0,∞)(x), con parametro reale θ> 1. (a) Si calcoli la funzione di ripartizione F (t) di X. (b) Si mostri che la variabile F (X) ` e una quantit` a pivotale. (c) Si determini l’intervallo di confidenza per ln(θ) di livello 1−α∈ (0, 1) d’ampiezza minima, basato sulla quantit` a pivotaleF (X). Se ricavi da esso un intervallo di confidenza per θ di livello 1−α∈ (0, 1). (d) Si mostri che la variabile Q =X ln(θ) ` e una quantit` a pivotale. (e) Si determini l’intervallo di confidenza del tipo [ c,∞] di livello 1 −α∈ (0, 1), basato sulla quantit` a pivotaleQ. 1 Esercizio 2 Si consideri la seguente funzione: f(x;θ,c,d ) = cx(1−x2)θ1(0,d)(x), doveθ, c e d sono tre parametri reali positivi. (a) Calcolare il valore di c ed affinch´ e la funzionef(x;θ,c,d ) sia la densit` a di probabilit` a di una variabile aletoria continua per ogni θ> 0. Sia X1,..,X n un campione casuale d’ampiezza n≥ 1 in cui ciascuna variabile abbia densit` af(x;θ), dove i valori dei parametri c e d sono quelli calcolati al punto (a). (b) Determinare una statistica sufficiente minimale e completa T per θ e se ne riconosca la legge. (c) Si determini la regione critica di livello α∈ (0, 1) del test UMP per la coppia di ipotesi H0 : θ≥ 1/2 vs H1 : θ< 1/2. (d) Determinare lo stimatore ˆθn di massima verosimiglianza per θ e stabilirne…