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Probabilit` a. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d’esame del 29/6/2010. Cognome: Nome: Matricola: Firma: Barrare la propria casella: 2 corso da 10 crediti; 2 corso da 5 crediti (Calcolo delle probabilit` a (per Ing. Mat)). I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar` a perseguito. 1. SiaX1,X 2,... una successione di variabili aleatorie indipendenti con legge di Bernoulli di parametro p (cio` eP (Xi = 1) = p, P (Xi = 0) = 1−p) e sia Sn = X1 +X2 +... +Xn (n≥ 1). (a) Calcolare la legge di X1 condizionata a Sn =k, per k = 0, 1,...,n . (b) Calcolare E(X1|Sn). (c) Calcolare limn→∞E(X1|Sn), precisando in che senso ha luogo la convergenza. Trovare poi la distribuzione asintotica di E(X1|Sn). (d) Fissato n, calcolare E(Xi|Sn) per ogni intero 1 ≤i≤n e per ogni intero i>n . Soluzione. (a) Calcoliamo P (X1 = 1|Sn =k) = P (X1 = 1,Sn =k) P (Sn =k) . Notiamo che risulta P (X1 = 1,Sn =k) = 0 per k = 0. Per k≥ 1 invece si trova P (X1 = 1,Sn =k) =P (X1 = 1,X 1 +X2 +... +Xn =k) =P (X1 = 1,X 2 +... +Xn =k− 1) =P (X1 = 1)P (X2 +... +Xn =k− 1). dove abbiamo usato l’indipendenza delle Xi. Osservando che Sn ha legge binomiale B(n,p ) e X2 +... +Xn ha legge binomiale B(n− 1,p ) si trova, per k≥ 1, P (X1 = 1|Sn =k) = p (n−1 k−1 ) pk−1(1−p)n−1−(k−1) (n k ) pk(1−p)n−k = (n−1 k−1 ) (n k ) = k n. Risulta infine P (X1 = 0|Sn =k) = 1−P (X1 = 1|Sn =k) = 1− (k/n) per k≥ 0. (b) Dal punto precedente segue che E(X1|Sn =k) = 1·P (X1 = 1|Sn =k) + 0·P (X1 = 0|Sn =k) = k n per k≥ 0 e pertanto E(X1|Sn) =Sn/n. (c) Poich´ eE(X1|Sn) =Sn/n ` e pari alla media campionariaXn, si deducono i noti risul- tati: E(X1|Sn)→E(X1) =p quasi certamente e inL2, per la legge dei grandi numeri, e√n(E(X1|Sn)−p)→Z∼N(0,p (1−p)) in legge, per il teorema limite centrale. (d) Per…