100715

Page 1

Probabilit` a. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d’esame del 15/7/2010. Cognome: Nome: Matricola: Firma: Barrare la propria casella: 2 corso da 10 crediti; 2 corso da 5 crediti (Calcolo delle probabilit` a (per Ing. Mat)). I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar` a perseguito. 1. Comperate una lampada Earendil di durata esponenziale di media 5 anni. Una promozione consente di pescare 2 palline simultaneamente da un urna contenente 19 palline, di cui 3 bianche e 16 grigie, e di ricevere in omaggio tante lampade Earendil aggiuntive quante sono le palline bianche estratte. Si risponda alle seguenti domande introducendo chiaramente le variabili aleatorie in gioco. (a) Qual ` e la legge del numero di palline bianche estratte? (b) Qual ` e la legge del numero totale di lampade Earendil ottenute con l’acquisto di una lampada e approfittando della promozione? (c) Se vengono estratte k palline bianche, qual ` e la legge del tempo di luce totale delle lampade ottenute? Si esplicitino eventuali assunzioni aggiuntive. (d) Qual ` e il tempo di luce totale atteso ottenuto da un cliente che compera una lampada approfittando della promozione? (e) Qual ` e la funzione di ripartizione del tempo di luce totale ottenuto da un cliente che compera una lampada approfittando della promozione? (f) Se un cliente che ha approfittato della promozione rimane al buio entro 5 anni, con quale probabilit` a non aveva pescato palline bianche? [Pu` o essere utile ricordare la funzione di ripartizione F della legge Γ(n,β ): per t >0, F (t) = 1− ∑n−1 ℓ=0 e−βt(βt)ℓ/ℓ! Tale legge ha valore atteso n/β.] Soluzione. (a) N = numero di palline bianche sulle 2 estratte simultaneamente ∼G(19, 3, 2), per cui N discreta con densit` afN(k) = ( 3 k )( 16 2−k )…