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Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Corso di Studi in Ingegneria Matematica Appello di Modelli e Metodi dell’Inferenza Statistica 10 Luglio 2017 c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar` a perseguito. Nome e cognome: Numero di matricola: Esercizio 1: Sia X1,..,X n un campione casuale d’ampiezza n≥ 1 in cui ciascuna variabile abbia legge: f(x;θ,λ ) = λe−λ(x−θ)1(θ,+∞)(x), doveθ e λ sono due parametri reali positivi. (a) Si trovi W statistica sufficiente per (θ,λ ). (b) Si stabilisca se W ` e minimale. (c) Si costruisca la coppia di stimatori di massima verosimiglianza per ( θ,λ ). (d) Nel caso θ = 0, si trovi la regione critica di dimensione α∈ (0, 1) del test uniformemente pi` u potente per le ipotesi H0 :λ≥ 1 vs H1 :λ< 1. 1 Esercizio 2: Sia X1,..,X n un campione casuale d’ampiezza n≥ 1 in cui ciascuna variabile abbia legge: f(x;θ) = θxθ−11(0,1)(x), doveθ ` e un parametro reale positivo. Per ogni c∈ (0, 1) fissato, definiamo la v.a. Zi =cXi e la v.a. Yi che vale 1 se Xi≤c e 0 altrimenti. (a) Determinare la legge di Zi e lo stimatore ˆθz di massima verosimiglianza basato sul campione Z1,..,Z n. (b) Si stabilisca la consistenza dello stimatore ˆθz e se ne determini la legge asintotica. (c) Determinare la legge di Yi e lo stimatore ˆθy di massima verosimiglianza basato sul campione Y1,..,Y n. (d) Si stabilisca la consistenza dello stimatore ˆθy e se ne determini la legge asintotica. (e) Nel caso c = e−1, si calcoli l’ARE tra i due stimatori ˆθy e ˆθz. 2 Esercizio 3 Il dataset “heart.txt” contiene i valori delle seguenti variabili, espresse nelle opportune unit` a di misura, per 462 soggetti: sbp (pressione sistolica), tobacco (consumo cumulato di tabacco), ldl (colesterolo ldl), adiposity…