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Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Corso di Studi in Ingegneria Matematica Appello di Modelli e Metodi dell’Inferenza Statistica 10 Settembre 2018 c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar` a perseguito. Nome e cognome: Numero di matricola: Esercizio 1. Sia X1,...,X n un campione casuale da una distribuzione con legge: f(x;θ,b ) = θxθ−1 bθ I(0,b)(x), doveθ e b sono due parametri positivi incogniti, θ> 0, b> 0. (a) Stabilire se la legge di Xi appartiene alla famiglia esponenziale e trovare una statistica sufficiente e minimale per (θ,b ). (b) Si assuma che θ sia noto. Determinare gli stimatori ˆbML (massima verosimiglianza) e ˆbMOM (metodo dei momenti) per b. (c) Studiarne la consistenza di ˆbML e di ˆbMOM . (d) Determinare una quantit` a pivotaleQ per b. (e) Determinare l’intervallo di confidenza di livello 1 −α per b basato su Q di lunghezza minima. 1 Esercizio 2 Sia X1,...,X n un campione casuale da una distribuzione con legge: f(x;θ) =θx−1e−θln(x)I(1,+∞)(x) doveθ ` e un parametro incognito positivo,θ> 0. (a) Trovare una statistica sufficiente minimale e completa per θ. (b) Determinare lo stimatore ˆθML di massima verosimiglianza per θ. (c) Determinare la legge asintotica di ˆθML e verificare che ` e asintoticamente efficiente. (d) Costruire l’UMVUE per θ. (e) Costruire il Likelihood Ratio Test di livello α per H0: θ =θ0 vs H1: θ̸=θ0 . 2 Esercizio 3 All’Universit` a ittica si sta conducendo un progetto per valutare la salute del Mar Mediterraneo, visto l’aumento nel tempo della presenza di mucillagine. In particolare viene registrata la quantit` a carbonio per ml3 in 6 diverse aree del Mar Mediterraneo. Vengono presi in considerazione la localit` a (mar Adriatico, mar Tirreno e mar Ionio) e…