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Probabilit` a. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d’esame del 2/5/2011. Cognome: Nome: Matricola: Firma: Barrare la propria casella: 2 corso da 10 crediti; 2 corso da 5 crediti (Calcolo delle probabilit` a (per Ing. Mat)). I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar` a perseguito. 1. Un’urna contiene una pallina rossa ed una bianca. Le palline vengono estratte con reimmissione e con rinforzo delle sole rosse. Precisamente: una pallina viene estratta a caso; se ` e bianca viene semplicemente rimessa nell’urna, mentre se ` e rossa la pallina viene rimessa nell’urna insieme ad un’altra rossa. Si calcolino le seguenti probabilit` a: (a) che la prima pallina estratta sia bianca, (b) che la seconda pallina estratta sia bianca, sapendo che la prima ` e bianca, (c) che la seconda pallina estratta sia bianca, (d) che almeno una delle prime due estratte sia bianca, (e) che la prima pallina sia bianca, sapendo che la seconda ` e bianca, (f) che le prime n palline estratte siano tutte bianche, (g) che le prime n palline estratte siano tutte rosse, (h) che le palline estratte siano tutte bianche, (i) che le palline estratte siano tutte di uno stesso colore. Soluzione. Siano Bk = la k-esima pallina estratta ` e bianca, Rk = la k-esima pallina estratta ` e rossa =Bc k. Allora: (a) P (B1) = 1/2, (b) P (B2|B1) = 1/2, (c) P (B2) =P (B2|B1)P (B1) +P (B2|R1)P (R1) = 1 2 1 2 + 1 3 1 2 = 5 12, (d) P (B1∪B2) = P (B1) +P (B2)−P (B1,B 2) = P (B1) +P (B2)−P (B2|B1)P (B1) = 1 2 + 5 12− 1 2 1 2 = 2 3, (e) P (B1|B2) = P (B2|B1)P (B1) P (B2) = 3 5, 1 (f) P (B1,...,B n) =P (Bn|Bn−1,...,B 1)··· P (B2|B1)P (B1) = 1 2n , (g) P (R1,...,R n) =P (Rn|Rn−1,...,R 1)··· P (R2|R1)P (R1) = n n + 1··· 2 3 1 2 = 1 n + 1, (h) P (∞⋂ k=1 Bk ) = limn→∞P ( n⋂…