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Probabilit a. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d’esame del 2/5/2012. Cognome: Nome: Matricola: Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar a perseguito. 1. Un’urna viene riempita con 3 palline bianche, 5 rosse e 7 nere. Vengono estratte simultaneamente 2 palline. Quindi, se queste hanno colore diverso, vengono semplicemente rimesse nell’urna, se invece hanno lo stesso colore, vengono buttate via. L’urna viene poi rimescolata e si riestraggono simultaneamente 2 palline. Si calcolino le probabilit` a dei seguenti eventi: (a) alla prima estrazione 2 palline bianche, (b) alla prima estrazione 2 palline dello stesso colore, (c) nelle due estrazioni 4 palline tutte bianche, (d) nelle due estrazioni 4 palline tutte dello stesso colore, (e) alla seconda estrazione 2 palline dello stesso colore, sapendo che alla prima estrazione sono uscite 2 palline bianche, Soluzione. Siano: • Bk = 2 palline bianche all’estrazione k, • Rk = 2 palline rosse all’estrazione k, • Nk = 2 palline nere all’estrazione k, • Ek = Bk ∪ Rk ∪ Nk = 2 palline dello stesso colore all’estrazione k, per cui, per ogni k, gli eventi Bk, Rk, Nk, Ec k danno una partizione dello spazio campionario. (a) P (B1) = ( 3 2 ) ( 15 2 ) = 3 105 = 0.0286, (b) P (E1) = P (B1) + P (R1) + P (N1) = ( 3 2 ) ( 15 2 ) + ( 5 2 ) ( 15 2 ) + ( 7 2 ) ( 15 2 ) = 3 + 10 + 21 105 = 0.3238, (c) P (B1, B2) = P (∅) = 0, (d) P (B1, B2) + P (R1, R2) + P (N1, N2) = P (B2|B1)P (B1) + P (R2|R1)P (R1) + P (N2|N1)P (N1) = 0( 13 2 ) ( 3 2 ) ( 15 2 ) + ( 3 2 ) ( 13 2 ) ( 5 2 ) ( 15 2 ) + ( 5 2 ) ( 13 2 ) ( 7 2 ) ( 15 2 ) = 3 ∗ 10 + 10 ∗ 21 78 ∗ 105 = 0.0293, (e) P (E2|B1) = (5 2)+(7 2) (13 2 ) = 10+21 78 = 0.3974. 1 2. I punti N realizzati dai Caprica Buccaneers in una partita di…