120921

Page 1

Probabilit a. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d’esame del 21/9/2012. Cognome: Nome: Matricola: Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar a perseguito. 1. Il nuovo calorimetro progettato dal Dr. Slump per misurare l’energia sprigionata da una reazione chimica introduce un errore casuale ϵ con distribuzione di Laplace a media nulla, ovvero una variabile aleatoria assolutamente continua con densit` a “doppio esponen- ziale” del tipo fϵ(y) = c e λjyj. (a) Per quali λ e c la funzione fϵ ` e effettivamente una densit` a di probabilit` a? Trovare c in funzione di λ. (b) Determinare la varianza σ2 = E[ϵ2] e il momento quarto E[ϵ4] dell’errore in funzione di λ. [Suggerimento: pu` o essere utile sapere che ∫ 1 0 y2e λydy = 2/λ3, ∫ 1 0 y4e λydy = 24/λ5.] Il Dr. Slump vuole inferire su λ, da cui dipendono le caratteristiche del calorimetro. L’errore ϵ per` o, come ogni errore che si rispetti, non ` e osservabile. Detta µ l’energia (inco- gnita e deterministica) sprigionata da una reazione chimica, consideriamo quindi il risultato di una misura X = µ + ϵ. (c) Determinare la distribuzione di X e tracciare un grafico qualitativo della sua densit` a. (d) Determinare la media, la varianza e il momento quarto centrato della misura X. Si considerino ora n misure indipendenti X1, . . . , Xn di µ effettuate col calorimetro. (e) Provare che la varianza campionaria S2 n ha legge asintotica S2 n ∼ AN ( 2 λ2 , 20 n λ4 ) . (f) Proporre uno stimatore bλn per λ basato su S2 n in modo che risulti consistente, cio` e bλn → λ in probabilit` a. (g) Determinare la legge asintotica di bλn. (h) Proporre un intervallo di confidenza asintotico di livello 1 − α per λ basato su bλn. 1 Soluzione (sintetica). (a) fϵ(y) ≥ 0 e ∫ +1 1 fϵ(y) dy =…