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Probabilit a. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 16/7/2013. Cognome: Nome: Matricola: Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar a perseguito. 1. In occasione delle frequenti mancanze di elettricit a, il signor Lumi ere ricorre alle tre torce elettriche di casa, cercando di accenderle in sequenza e fermandosi quando ne trova eventualmente una funzionante. Capita infatti che con probabilit a p ogni torcia venga trovata scarica, ciascuna indipendentemente dalle altre. Sia X la variabile aleatoria che conta il numero di torce che non si accendono. (a) Calcolare la probabilit a che il signor Lumi ere resti al buio, in funzione di p. (b) Trovare la legge di X in funzione di p. (c) Calcolare il valore atteso di X in funzione di p. Si supponga ora che il valore di p sia estratto a caso con una legge avente densit a f (x) = 6 x(1 − x)1(0;1)(x). (d) Calcolare la probabilit a che il signor Lumi ere resti al buio. (e) Calcolare il valore atteso di X. Soluzione. (a) E' la probabilit a di 3 \successi" in un processo di Bernoulli: P (X = 3) = p3. (b) Se X = k ∈ {0; 1; 2} ci sono stati k \successi" seguiti da un \insuccesso"; pertanto P (X = 0) = 1 − p P (X = 1) = p(1 − p) P (X = 2) = p2(1 − p) P (X = 3) = p3 (c) E(X) = p(1 − p) + 2p2(1 − p) + 3p3 = p + p2 + p3: (d) Sia Y la variabile aleatoria pari al valore di p estratto. Y ha densit af e la legge calcolata al punto (b) va ora intesa come la legge di X condizionata a Y = p. Pertanto P (X = 3) = ∫ R P (X = 3|Y = p) f (p) dp = ∫ R p3 f (p) dp = ∫ 1 0 x3 6x(1 − x) dx = 1 5 : (e) Il valore atteso calcolato al punto (b)  e il valore atteso condizionato di X dato Y = p. Pertanto E(X) = ∫ R E(X|Y = p) f (p) dp = = ∫ R (p + p2 + p3) f (p) dp = ∫ 1 0…