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Probabilit a. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 18/7/2014. Cognome: Nome: Matricola: Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar a perseguito. 1. Dati tre parametri µX 2 R, µY 2 R, σ2 > 0, si considerino m + n variabili aleatorie reali indipendenti X1, . . . , Xm i.i.d. N (µX , σ2), Y1, . . . , Yn i.i.d. N (µY , σ2), ovvero due campioni casuali, indipendenti fra di loro, estratti da due distribuzioni normali con medesima varianza. Dato un parametro 0  p  1, si consideri la corrispondente media pesata delle due varianze campionarie S2 p = p S2 X + (1 p) S2 Y = p ∑m ℓ=1(Xℓ X m)2 m 1 + (1 p) ∑n k=1(Yk Y n)2 n 1 . (a) Scrivere distribuzione, valore atteso, varianza e funzione caratteristica di S2 X . (b) Calcolare il valore atteso E[S2 p ]. (c) Calcolare la varianza Var( S2 p ). (d) Trovare il valore di p per cui  e minima Var(S2 p ). (e) Calcolare E[S2 p j S2 Y ]. (f) Calcolare la funzione caratteristica φS2p . (g) Se m = 3n, calcolare il limite q.c. di S2 p per n ! 1. Soluzione. (a) Sappiamo che S2 X  σ2 m 1 χ2(m 1) ) E[S2 X ] = σ2, Var(S2 X ) = 2 σ4 m 1 , φ S2 X (u) = ( 1 2 1 2 i σ2 m−1 u ) m 1 2 . (b) E[S2 p ] = σ2. (c) Var(S2 p ) = p2 2 σ4 m 1 + (1 p)2 2 σ4 n 1 . 1 (d) p = m 1 m + n 2 . (e) E[S2 p j S2 Y ] = p E[S2 X j S2 Y ] + (1 p)E[S2 Y j S2 Y ] = p σ2 + (1 p)S2 Y . (f) φS2p (u) = E [ exp { i S2 p u }] = E [ exp { i u ( p S2 X + (1 p) S2 Y )}] = φ m 1 2 S2 X ( puσ2 m 1 ) φ n 1 2 S2 Y ( (1 p)uσ2 n 1 ) = ( 1 2 1 2 i puσ2 m−1 ) m 1 2 ( 1 2 1 2 i (1−p)uσ2 n−1 ) n 1 2 . (g) S2 p = p S2 X + (1 p) S2 Y ! p σ2 + (1 p) σ2 = σ2 q.c. 2 2. Un proiettile viene lanciato da terra in una regione pianeggiante con un inclinazione  (misurata in radianti) rispetto all'orizzontale e con velocit a…