140902

Page 1

Probabilit a. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 2/9/2014. Cognome: Nome: Matricola: Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar a perseguito. 1. La misura di un'intensit a luminosa  e descritta come una variabile aleatoria X con legge esponenziale di media 10 (rispetto a un'opportuna unit a di misura). A seconda del valore misurato, l'intensit a viene classi cata in tre livelli descritti da una seconda variabile aleatoria Y de nita come segue: Y =    1 se X ≤ 10 2 se 10 < X ≤ 20 3 se X > 20 (a) Calcolare la legge di Y . (b) Calcolare media e varianza di Y . (c) Il vettore aleatorio ( X, Y )  e assolutamente continuo? E' discreto? (d) Calcolare P (X > 5 | Y = 1). (e) Calcolare la funzione di ripartizione di X dato Y = 2, cio e la funzioneP (X ≤ x | Y = 2). (f) Calcolare la funzione di ripartizione congiunta F (x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y). Soluzione. (a) Y  e variabile aleatoria discreta con funzione di massa di probabilit a P (Y = 1) = P (X ≤ 10) = 1 − e−1 = 0.6321, P (Y = 2) = P (10 < X ≤ 20) = e−1 − e−2 = 0.2326, P (Y = 3) = P (X > 20) = e−2 = 0.1353. (b) E Y = 1 − e−1 + 2(e−1 − e−2) + 3e−2 = 1.5032, V ar Y = 0.5206. (c) (X, Y ) non  e assolutamente continuo perch e la sua componente Y  e discreta e quindi non assolutamente continua. Non  e discreto perch e la sua componenteX non  e discreta. (d) P (X > 5 | Y = 1) = P (X > 5, Y = 1) P (Y = 1) = P (5 < X ≤ 10) P (Y = 1) = e−0:5 − e−1 0.6321 = 0.3776. (e) Si trova P (X ≤ x | Y = 2) = 0 per x ≤ 10, P (X ≤ x | Y = 2) = 1 per x ≥ 20. Invece per 10 < x < 20, P (X ≤ x | Y = 2) = P (X ≤ x, 10 < X ≤ 20) P (Y = 2) = P (10 < X ≤ x) P (Y = 2) = e−1 − e−0:1·x e−1 − e−2 . 1 (f) F (x, y) =    0 se y < 1, P (X ≤ x, Y = 1) = P (X ≤ x, X…