150922

Page 1

Probabilit a. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d’esame del 22/9/2015. Cognome: Nome: Matricola: Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar a perseguito. 1. Siano T1 e T2 i tempi di vita (a tempo discreto) di due lampade. Tali tempi sono indipendenti ed entrambi di legge uniforme sui naturali da 1 a n, n ≥ 2. Le due lampade vengono accese contemporaneamente ed illuminano una met` a a testa di una medesima stanza. Sia U l’istante in cui la stanza non sar` a pi` u tutta illuminata, e sia V l’istante in cui rimarremo al buio. (a) Scrivere la densit` a congiunta di T1 e T2. (b) Calcolare la probabilit` a che la stanza passer` a direttamente dall’essere tutta illuminata al buio totale, senza rimanere quindi illuminata solo per met` a. (c) Calcolare la probabilit` a che la prima lampada duri pi` u della seconda. (d) Trovare la densit` a e la funzione di ripartizione di V . (e) Trovare la legge congiunta di U e V . (f) U e V sono indipendenti? Soluzione. (a) f(T1;T2)(k, ℓ) = 1 /n2 ∀k, ℓ : 1, . . . , n. (b) P(T1 = T2) = n∑ k=1 P(T1 = k, T2 = k) = 1 n . (c) P(T1 > T 2) = 1 − P(T1 = T2) 2 = n − 1 2n . (d) Per ogni k = 1, . . . , n abbiamo fV (k) = P(T1 = T2 = k) + 2 P(T1 = k, T2 < k ) = 1 n2 + 2 1 n k − 1 n = 2k − 1 n2 FV (k) = ( FT1(k) ) 2 = k2 n2 . (e) Per i, j = 1, . . . , n abbiamo f(U;V )(i, j) =    2/n2 se i < j, 1/n2 se i = j 0 se i > j (f) No, dato che, ad esempio, P(V = 1) = 1 /n2 ̸= 0 = P(V = 1|U = 2). 1 2. Il 21 ottobre 2015 si avvicina e un nuovo skateboard sta per invadere il mercato. La distanza X percorsa dallo skateboard prima di rompersi ha distribuzione esponenziale di media 1 /λ. Lo skateboard sar` a venduto con una garanzia, per cui verr` a sostituito con uno skateboard nuovo qualora si…