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Probabilit a. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d’esame del 4/2/2016. Cognome: Nome: Matricola: Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar a perseguito. 1. Il numero N di viaggiatori che ogni giorno viaggiano fra Nuova Tokyo e la base lunare Alpha ha una distribuzione di Poisson di media . La frazione di viaggiatori sprovvisti di regolari documenti di viaggio ` e pari a p. Ogni viaggiatore ` e provvisto o meno dei documenti indipendentemente dagli altri e da N . Sia X il numero giornaliero di viaggiatori sprovvisti di regolari documenti di viaggio. In queste circostanze ` e noto che la distribuzione di X condizionata da N = n ` e binomiale B(n; p), e che la distribuzione di X ` e di Poisson con media p. (a) Calcolare E(XjN ), il valore atteso di X condizionato a N ; calcolare V ar(XjN ), la varianza di X condizionata a N . (b) Calcolare la probabilit` a di N = 2 sapendo che X  2. (c) Calcolare i limiti di P(N = 2jX  2) per p ! 0 e per p ! 1. (d) Calcolare P(X = N ) e i suoi limiti per p ! 0 e per p ! 1. (e) Commentare i limiti calcolati. Soluzione. (a) E(XjN ) = N p, V ar(XjN ) = N p(1 p). (b) P(N = 2jX  2) = P(X  2jN = 2)P(N = 2) P(X  2) = e −(1−p) 2=2 1 + p + p22=2 . (c) P(N = 2jX  2) ! e− 2 2 per p ! 0, P(N = 2jX  2) ! 2=2 1 +  + 2=2 per p ! 1. (d) P(X = N ) = ∞∑ n=0 P(X = N jN = n) P(N = n) = ∞∑ n=0 pn e− n n! = e −(1−p), P(X = N ) ! e− per p ! 0, P(X = N ) ! 1 per p ! 1. (e) Nel limite p ! 0 nessun viaggiatore ` e sprovvisto di regolari documenti di viaggio, per cui P(X = N ) ! P(N = 0). Allo stesso tempo l’evento ( X  2) diventa certo, il suo verificarsi non d` a pi` u informazioni, e come ci si potrebbe aspettare si ha proprio P(N = 2jX  2) ! P(N = 2). Nel limite p ! 1…