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Probabilit a. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 18/2/2016. Cognome: Nome: Matricola: Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar a perseguito. 1. Data una variabile aleatoria reale assolutamente continua X con densit a continua f (x) = 1 x2 I[1;+1)(x), si consideri la variabile Y = { X 2, se X  2, 5, se X > 2. (a) Trovare una funzione h : R ! R tale che risulti Y = h(X) e tracciarne un gra co qualitativo. (b) Calcolare la funzione di ripartizione di X e tracciarne un gra co qualitativo. (c) Calcolare la funzione di ripartizione di Y e tracciarne un gra co qualitativo. (d) La variabile Y  e continua?E discreta? (e) Trovare, se esiste, il pi u piccolo intervallo [a, b] tale che P(a  Y  b) = 1. (f) Trovare il valore atteso di Y . (g) Trovare la varianza di Y . Soluzione. (a) Si pu o scegliere ad esempio y = h(x) = { x2, se x  2, 5, se x > 2. . (b) FX (t) = ( 1 1 t ) I[1;+1)(t) (c) FY (t) = P(Y  t) =    0, se t  1, P(X 2  t) = FX ( p t) = 1 1p t , se 1  t  4, 1/2, se 4  t < 5, 1, se t  5. (d) Y non  e continua perch eFY  e discontinua in 5. Y non  e discreta perch eFY non  e costante a tratti in [1, 4]. 1 (e) [1, 5]. (f) E[Y ] = ∫ 2 1 x2 f (x) dx + ∫ 1 2 5 f (x) dx = 1 + 5 2 = 7 2 . (g) E[Y 2] = ∫ 2 1 x4 f (x) dx + ∫ 1 2 25 f (x) dx = x3 3 2 1 + 25 2 = 89 6 , Var(Y ) = E[Y 2] E[Y ]2 = 31 12 2 2. Sia ( X, Y ) un vettore aleatorio con legge uniforme sul semicerchio S := f(x, y) 2 R2 : x2 + y2  1, y  0g. (a) Trovare la densit a continua congiunta diX e Y . (b) Trovare le densit a continue marginali diX e Y . (c) Calcolare il valore atteso di X e di Y . (d) Calcolare la covarianza di X e Y . (e) Le variabili X e Y sono incorrelate? Sono indipendenti? (f) Trovare…