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Probabilit a. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 21/7/2016. Cognome: Nome: Matricola: Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar a perseguito. 1. Sia ( X, Y ) un vettore aleatorio con densit a continua: f(X;Y )(x, y) =    1 2 p 3 x e 1 2 x ( 1+ 1 3 y2 ) , x > 0, y ∈ R, 0, altrove. (a) X ed Y sono indipendenti? (b) Calcolare la densit a continua di X. (c) Determinare la densit a continua condizionata di Y dato X = x, per ogni x > 0, e riconoscerla. (d) Quanto valgono E[Y |X] e Var( Y |X)? (e) Calcolare la densit a continua di Y . (f) Determinare la densit a continua del vettore aleatorio ( Z, Y ), dove Z = X ( 1 + 1 3 Y 2) . Le variabili aleatorie Z ed Y sono indipendenti? Soluzione. (a) No, infatti f(X;Y ) non  e fattorizzabile. (b) fX (x) = 1p 2 √x e 1 2 x I(0;+1)(x). Si pu o notare che X ∼ ( 3 2 , 1 2 ) . (c) Per ogni x > 0, fY jX (y|x) = f(X;Y )(x;y) fX (x) = 1√ 2 3 x e 1 2 y2 3 x , per ogni y ∈ R. Quindi Y |X = x ∼ N ( 0, 3 x ) . (d) Per il punto (c), E[Y |X = x] = 0 e Var( Y |X = x) = 3 x . Quindi E[Y |X] = 0 e Var(Y |X) = 3 X . (e) fY (y) = 2  p 3 1( 1+ y2 3 ) 2 , per ogni y ∈ R. Si pu o notare che Y ∼ t(3). (f) f(Z;Y )(z, y) = f(X;Y ) ( z 1 + 1 3 y2 , y ) 1 1 + 1 3 y2 =    1 2 p 3 z e 1 2 z 1( 1+ 1 3 y2 ) 2 , z > 0, y ∈ R, 0, altrove. Poich ef(Z;Y )  e fattorizzabile, segue cheZ ed Y sono indipendenti. 1 2. Per ogni n ≥ 2, si consideri la variabile aleatoria discreta Xn tale che P ( Xn = k n ) = 1 2k , per ogni k = 1 , . . . , n− 1 e P (Xn = 1) = 1 2n 1 . (a) Determinare la funzione caratteristica di Xn. (b) Stabilire se la successione ( Xn)n2 converge in legge e, nel caso, determinarne il limite. Si consideri ora, per ogni n ≥ 2, la variabile aleatoria Yn = nXn.…