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Probabilit a. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 30/9/2016. Cognome: Nome: Matricola: Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar a perseguito. 1. Siano X1 e X2 variabili aleatorie indipendenti e geometriche: P (Xi = k) = pk i (1 pi), per ogni intero k  0, con p1, p2 2 (0, 1). Scriviamo X1  G (p1) e X2  G (p2). Consideriamo la seguente variabile aleatoria: M = min(X1, X2). In ne, de niamo I = { 1, se X1  X2, 2, se X1 > X 2. Sia j  0 un intero ssato. (a) Quanto vale P (X1  j)? (b) Calcolare P (M  j). (c) Calcolare P (M = j). (d) Quanto vale P (I = 1)? (e) Determinare P (I = 1, M = j). Le variabili aleatorie I ed M sono indipendenti? Soluzione. (a) P (X1  j) = ∑1 k=j pk 1(1 p1) = pj 1. (b) P (M  j) = P (X1  j)P (X2  j) = ( p1p2)j. In particolare, M  G (p1p2). (c) P (M = j) = P (M  j) P (M  j + 1) = ( p1p2)j(1 p1p2). (d) P (I = 1) = P (X1  X2) = ∑1 k=0 P (X1 = k, X2  k) = 1 p1 1 p1p2 . (e) P (I = 1 , M = j) = P (I = 1 , X1 = j) = P (X1  X2, X1 = j) = P (X1 = j)P (X2  j) = ( p1p2)j(1 p1). Si ha che P (I = 1, M = j) = P (I = 1)P (M = j), quindi gli eventi fI = 1 g e fM = jg sono indipendenti. Poich e l'evento fI = 2 g  e il complementare di fI = 1g, deduciamo che anche gli eventi fI = 2g e fM = jg sono indipendenti, quindi P (I = 2, M = j) = P (I = 2)P (M = j). Concludiamo che la densit a discreta congiunta di I ed M si fattorizza, quindi I ed M sono indipendenti. 1 2. Si consideri una famiglia di variabili aleatorie X, dipendenti da un parametro λ > 0 e avente densit a continua della forma f(x) = C ex 1(0;)(x), x 2 R. (a) Trovare il valore della costante C, in funzione di λ. (b) Calcolare lim !0 E [eX]. (c) Calcolare la funzione caratteristica di X. (d) Studiare la…