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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione II Prov a in Itinere di Probabilità per Ingegneria Matematica 2 luglio 2018 c⃝I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Cognome, Nome, Matricola: Problema 1. Il reparto di ricerca e sviluppo di una nota azienda chimica sta studiando la temperatura nale T di una nuova miscela. I ricercatori sanno che uno dei componenti della miscela, e cace 80 volte su 100, ha l'eetto di abbassare tale temperatura nale. Più precisamente, se il componente non è e cace, il valore di T è casuale con legge Γ(2,λ 0) e media pari a 30◦C; se invece il componente è e cace, la temperatura nale media diminuisce di 10◦C mentre la legge di T diventa una Γ(2,λ 1). Sia X la variabile che indica se il componente è e cace. 1. Determinare la legge di X. 2. Determinare il valore dei parametri reali λ0 e λ1. 3. Calcolare la temperatura nale media. 4. Calcolare la funzione di ripartizione di T . 5. La variabile T è assolutamente continua? È discreta? Qualora possibile, determinarne la densità. 6. Sapendo che la temperatura registrata è superiore a 22◦C, con quale probabilità il componente è risultato e cace? Ai ricercatori interessa anche un'altra importante variabile termodinamica: β = 1 T . 7. Calcolare il valor medio di β. 1 Risultati. 1. X∼B(0.8). 2. λ0 = 1 15◦C , λ 1 = 1 10◦C . 3. E[T ] = 1∑ k=0 E[T|X =k] P(X =k) = 0.2· 30◦C + 0.8· 20◦C = 22◦C. 4. FT (x) = 1∑ k=0 P(T≤x|X =k)P(X =k) = { 1− [ 0.2 e−λ0x ( 1+λ0x ) +0.8 e−λ1x ( 1+λ1x )]} I[0,∞)(x). 5. La variabile T è assolutamente continua perché FT è continua su R e C1 a tratti su R. fT (x) = ( 0.2λ2 0x e−λ0x + 0.8λ2 1x e−λ1x ) I[0,∞)(x). 6. P ( X = 1 ⏐⏐⏐T >22◦C ) = P ( T >22◦C ⏐⏐⏐X = 1 ) P(X = 1) P ( T >22◦C ) =…