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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Corso di Studio in Ingegneria Matematica - Laurea di Primo Livello A.A. 2017/2018 III Appello di Probabilità - 13 settembre 2018 c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Cognome, Nome, Matricola: Problema 1. Date due variabili aleatorie indipendentiX ed Y, entrambe esponenziali di parametro λ> 0, consideriamo la variabile aleatoria reale Z = X max{X,Y}. 1. Mostrare cheZ è ben definita quasi certamente. 2. Calcolare P(Z = 1). 3. Calcolare P(Z = 1/2). 4. Trovare un intervallo chiuso e limitato[a,b ] tale che P(a≤Z≤b) = 1. 5. Calcolare la funzione di ripartizione diZ e tracciarne un grafico qualitativo. 6. La variabileZ è continua? É discreta? 1 Risultati. 1. Z è ben definita semax{X,Y}̸ = 0, dove P ( max{X,Y}̸ = 0 ) = 1− P ( max{X,Y} = 0 ) = 1− P ( X = 0,Y = 0 ) = 1 essendo X ed Y variabili aleatorie continue. 2. P(Z = 1) = P ( max{X,Y} =X ) = P(X≥Y ) = 0.5, dove l’ultimo passaggio vale per simmetria e continuità del vettore(X,Y ). 3. P(Z = 1/2) = P ( X = 1 2Y ) = 0, dove l’ultimo passaggio vale per la continuità del vettore(X,Y ). 4. P(a≤Z≤b) = 1 per ogni [a,b ]⊇ [0, 1]. 5. Per ogni 0<t< 1 P(Z≤t) = P ( Z≤t,X <Y ) + P ( Z≤t,X >Y ) = P ( X≤tY,X <Y ) + P ( X≤tX,X >Y ) = P ( X≤tY ) = ∫ +∞ 0 (∫ yt 0 λ2 exp { −λ(x +y) } dx ) dy = t 1 +t per cui la funzione di ripartizione diZ è FZ(t) =    0, per t≤ 0, t 1 +t, per 0≤t< 1, 1, per t≥ 1. 6. La variabileZ non è continua perchèFZ è discontinua in 1, non é discreta perchèFZ non è costante a tratti. 2 Problema 2. La posizione finaleX di una pallina caduta attraverso una macchina di Galton è casuale con distribuzione (approssimativamente) normale centrata di varianzaσ2. SiaW la somma dei quadrati…