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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Corso di Studio in Ingegneria Matematica - Laurea di Primo Livello A.A. 2017/2018 V Appello di Probabilità - 18 febbraio 2019 c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Cognome, Nome, Matricola: Problema 1. Si consideri una successione di variabili aleatorie discreteXn, n∈ N, di densità rispetti- vamente pn(±n) = 1 2n, p n(0) = 1− 1 n. 1. Calcolare il valore attesoE[Xn], la varianzaVar(Xn) ed i rispettivi limiti pern→∞ . 2. Calcolare la funzione caratteristicaϕXn (u). 3. Studiare il limite in legge diXn per n→∞ . Si supponga ora che la successioneXn, n∈ N, costituisca una famiglia di variabili indipendenti, e si considerino le successioni X n = 1 n n∑ k=1 Xk, Y n = 1 n2 n∑ k=1 Xk. 4. Calcolare il valore attesoE[X n], la varianzaVar(X n) ed i rispettivi limiti pern→∞ . 5. Calcolare il valore attesoE[Yn], la varianzaVar(Yn) ed i rispettivi limiti pern→∞ . 6. Studiare il limite in legge diYn per n→∞ . 1 Risultati. 1. E[Xn] = 0→ 0, Var(Xn) = n→∞ . 2. ϕXn (u) = 1− 1 n + 1 2n einu + 1 2n e−inu = 1− 1 n ( 1− cos ( nu )) . 3. Abbiamo cheϕXn (u)→ 1 per ogniu∈ R e che, in alternativa,pn(k)→δ0(k) per ognik∈ Z. Quindi Xn→ 0 in legge. 4. E[X n] = 0→ 0, Var(X n) = n + 1 2n → 1 2. 5. E[Yn] = 0→ 0, Var(Yn) = n + 1 2n3 → 0. 6. Per il punto precedenteYn→ 0 in L2 e quindi anche in legge. 2 Problema 2. Siano (X,Y ) un vettore aleatorio continuo di densità f(X,Y )(x,y ) = 12xy(1−y)I(0,1)2 (x,y ). 1. Quanto vale la covarianzaCov(X,Y )? Siano S =X, T =XY 2. 2. Mostrare che (S,T ) è un vettore aleatorio. 3. In quale regioneD del piano possiamo trovare q.c. il vettore(S,T )? 4. Mostrare che (S,T ) è un vettore aleatorio continuo. 5. Calcolare la densità di(S,T…