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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione - AA 2018/2019 II Appello di Probabilità per Ingegneria Matematica - 16 luglio 2019 c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Cognome, Nome, Matricola: Esercizio 1. Siano X1 e X2 variabili aleatorie indipendenti di legge uniforme sull’intervallo[2, 4]. 1. Calcolare mediaµ e varianzaσ2 di X1 e X2. Siano Y1 =X1, Y 2 =X1X2. 2. Calcolare Var(Y2). 3. Calcolare Cov(Y1,Y 2). 4. Provare cheY1 e Y2 sono congiuntamente continue. 5. Calcolare la densità congiunta diY1 e Y2. 6. Le variabiliY1 e Y2 sono indipendenti? 1 Risultati. 1. µ = 3, σ 2 = 1/3. 2. Var(Y2) = E[X 2 1X 2 2 ]− E[X1X2]2 =σ4 + 2µ2σ2 = 55 9 . 3. Cov(Y1,Y 2) = E[X 2 1X2]− E[X1]E[X1X2] = µσ2 = 1. 4. Y1 e Y2 sono congiuntamente continue perché(Y1,Y 2) = h(X1,X 2), doveX1 e X2 sono congiunta- mente continue perché continue e indipendenti, e dove h : [2, 4]2→ R2, (t1,t 2) = h(s1,s 2) = (s1,s 1s2), èC1 e iniettiva con matrice jacobianaJh(s1,s 2) = ( 1 0 s2 s1 ) di determinate detJh(s1,s 2) = s1 che non si annulla mai per(s1,s 2)∈ [2, 4]2. 5. L’immagine dih è B =h([2, 4]2) = { (t1,t 2)∈ R2 ⏐⏐⏐2≤t1≤ 4, 2t1≤t2≤ 4t1 } doveh ha inversa g :B→ [2, 4]2, g (t1,t 2) = (t1,t 2/t1), per cui f(Y1,Y2)(t1,t 2) = 1 4t1 IB(t1,t 2). 6. Le variabiliY1 eY2 non sono indipendenti. Sono infatti correlate e la loro densità congiunta non si fattorizza. 2 Esercizio 2. Si consideri il vettore aleatorio gaussiano   X Y Z  ∼N     1 0 −1   ,   1 1 1 1 2 0 1 0 2    . 1. X,Y,Z costituiscono una famiglia di variabili indipendenti? 2. Determinare la legge condizionata di(Y,Z ) sapendo cheX =s. 3. Determinare E[Z 2|X =s], il momento secondo diZ sapendo cheX =s. 4. Determinare E[YZ|X =s], il momento secondo…